高代选讲第1章、多项式

第一章 多项式（讲授7课时）

一、教学目的：

1、掌握数域的定义，会判定一个代数系统是否是多项式；

2、正确理解数域p上的一元多项式的定义，多项式相乘，次数，一元多项

式环等概念。

3、掌握多项式的运算及规律。

4、掌握整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。

5、正确理解和掌握两个（或者若干个）多项式的最大公因式，互素等概念

及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。 6、正确理解和掌握不可约多项式的定义与性质及判定。 7、正确理解和掌握k重因式的定义。 8、掌握余数定理，多项式的根及性质。

9、理解代数基本定理，熟练掌握复系数多项式分解定理及标准分解式。 二、教学内容：

1、数域、一元多项式、多项式根、多项式整除。

2、最大公因式、不可约多项式、重因式、复系数与实系数多项式的因式分

解。

三、教学重点：

多项式整除及性质、多项式互素、最大公因式、重因式、不可约多项式判定及多项式的标准分解 四、教学难点：

多项式互素、最大公因式、不可约多项式及多项式分解 五、教学方法：启发讲授 六、教学过程：

(一)、多项式整除基本知识点

()Px?[]1、定义：设f(x),g(x)?P[x]，若?hx()gxhx?()()，使fx，则称g(x)|f(x)。

2、带余除法定理：f(x),g(x)?P[x],g(x)?0，则?q(x),r(x)?P[x]，有

f(x)?g(x)q(x)?r(x)

其中r(x)?0，或?(r(x))??(g(x))。 3、整除的性质：

(1)、f(x)|g(x),g(x)|f(x)?f(x)?cg(x)；

1

(2)、f(x)|g(x),g(x)|h(x)?f(x)|h(x)； (3)、f(x)|gi(x),i?1,,n?f(x)|(u1(x)f1(x)??un(x)fn(x))；

(4)、整除与系数域大小无关；

(5)、g(x)|f(x)?g(x)的所有根都是f(x)的根(含重根)常见的n次单位根。 4、整除性证明的方法 (1)、利用多项式整除的定义；

(2)、利用当g(x)?0时，g(x)|f(x)?r(x)?0，其中r(x)是g(x)、f(x)的余式； (3)、利用多项式分解定理(即标准分解式证明整除)； (4)、利用多项式的根(即因式的所有根均是倍式的根)； (5)、利用多项式整除的性质。

例1：设f(x)=2x4?3x3?4x?1,g(x)?x2?x?1，求g(x)除f(x)的商及余式。 例2：将多项式f(x)=x4?6x3?12x2?7x?4，按x?1的方幂展开。（综合除法、泰

勒公式）

例3：如果x2?x?1|f(x3)?xg(x3)，证明：x?1|f(x)且x?1|g(x) 类似证明：

(1) x2+x?1|x3m+x3n?1?x3p?2(m,n,p?N). (2) (x?1)|f(xn)?xn?1|f(xn)

(3) 若x4?x3?x2?x?1|x3f1(x5)?x2f2(x5)?xf3(x5)?f4(x5)，则x?1|f)i(x，

(i?1,2,3,4)

(二)、最大公因式与互素基本知识点

1、最大公因式的定义：若f(x)、g(x)?P[x]，若?d(x)?P[x]，满足 1d(x)|f(x),d(x)|g(x) ○

2??(x)|f(x),?(x)|g(x)，则称d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式，记作 ○

d(x)?(f(x),g(x))。

2

2、最大公因式存在定理及求法

(1)最大公因式存在定理：设f(x),g(x)?P[x]，则一定存在多项式d(x)?P[x]且

d(x)=u(x)f(x)?v(x)g(x)，其中u(x),v(x)?P[x]。

（2）最大公因式求法： 1辗转相除法 ○2定义法 ○

?d(x)|f(x),d(x)|g(x)3?○ d(x)?u(x)f(x),?v(x)g(x)??f(x)?f1(x)d(x),g(x)?g1(x)d(x)4?○ ?(f1(x),g1(x))?15因式分解法：利用多项式的标准分解式求解 ○

3、多项式的互素

(1)互素定义：设f(x),g(x)?P[x]，若(f(x),g(x))?1，则称f(x)与g(x)的互素。 (2)互素性质：

1 (f(x),g(x))?1??u(x),v(x)，使得u(x)f(x)?v(x)g(x)?1 ○

2 (f(x),g(x))?1且f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|h(x)。 ○

3f1(x)|g(x),f2(x)|g(x)且(f1(x),f2(x))?1，则f1(x),f2(x)|g(x)。 ○

4、证明多项式互素即(f(x),g(x))?1的方法 1找u(x),v(x)使得u(x)f(x)?v(x)g(x)?1； ○

2证明f(x),g(x)的任一最大公因式都是非零常数； ○3反证法 ○

4f(x)与g(x)无公共根。 ○

例4：设f(x)=3x5?5x4?16x3?6x2?5x?6,g(x)=3x4?4x3?x2?x?2， (1)求(f(x),g(x))

(2)求多项式u(x),v(x)，使得u(x)f(x)?v(x)g(x)?(f(x),g(x))。

3

例5：设ad?bc?0，则(f(x),g(x))?(af(x)?bg(x),cf(x)?dg(x))。

例6：设f(x),g(x)?P[x]为首项系数为1的多项式，证明：

[f(x),g(x)]?f(x)g(x)

(f(x),g(x))例7：设F(x)?(x2?1)f(x)?(x2?x?1)g(x),G(x)?xf(x)?(x?1)g(x)，证明：

(f(x),g(x))?1?(F(x),G(x))?1。

(三)、不可约多项式、重因式与因式分解定理知识点

1、不可约多项式

(1)定义：设p(x)?P[x],?(p(x))?1,如果p(x)不能分解成两个次数比它低的多项式的乘积，则称p(x)在数域P上是不可约，否则称为可约。 (2)性质：

1?(p(x))?1且p(x)不可约??f(x)?P[x]，都有p(x)|f(x)或(f(x),p(x))?1 ○

2?(p(x))?1且p(x)不可约??f(x),g(x?)P[x由p(x)|f(x)g(得x○，

p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。

3?(p(x))?1且p(x)不可约，p(x)|f(x)○1fn(x)?(?i,1?i?n)，使p(x)|f(ix)

4若p(x)不可约，则cp(x)(c?0)也不可约。 ○

2、因式分解及唯一性定理

(1)定理：数域P上每个次数?1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积，所谓唯一性指f(x)?p1(x)且适当调整顺序后pi(x)?ciqi(x)(ci?0)。

r2(2)标准分解式：f(x)?cp1r1(x)p2(x)ps(x)?q1(x)qt(x),那么s?tpsrs(x),c是f(x)的首项系数，p1(x)，，ps(x)是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，ri是正整数。

1f(x)?ap1(x)○1kr?1prkr(x)prk?1(x)kml1pm(x),g(x)?bp1(x)lrlr?1pr(x)qr?1(x)lnqn(x)，其

4

中pr?1(x),,pm(x)与 qr?1(x),,qn(x)互不相同，(f(x),g(x))?p1s1(x)prsr(x),

si?min(ki,li).

2f(x)?ap1(x)○1kpsks(x),g(x)?bp1r1(x)psrs(x),其中p1(x),,ps(x)是互不相同的首

项系数为1的不可约多项式，ri,ki非负整数，则

l1(f(x),g(x))?p1(x)lsps(x),si?min(ki,ri);g(x)|f(x)?ki?ri(i?1,,s)

3、重因式

(1)定义：不可约多项式p(x)称为多项式f(x)的k重因式，若pk(x)|f(x)但

pk(x)|f(x)。

(2)性质：1：如果p(x)是f(x)的k(k?1)重因式?p(x)是f'(x)的k?1重因式

2：如果p(x)是f(x)的k(k?1)重因式?p(x)是f(x),f'(x),式但不是f(k)(x)的因式。

3：不可约多项式p(x)是f(x)的k(k?1)重因式?p(x)是f(x),f'(x)的公因式

' 4：f(x)无重因式?(f(x),f(x))?1。

' 5：p(x)是f(x)的k?1重因式且p(x)|f(x)?p(x)是f(x)的k(k?1)重因

,f(k?1)(x)因

式。

r2(3)分离重因式：设f(x)的标准分解式f(x)?cp1r1(x)p2(x)prrs(x),

r2?1f'(x)?cp1r1?1(x)p2(x)psrs?1(x)h(x),pi(x)|h(x)

psrs?1(x),g(x)?.f(x)?cp1(x),'(f(x),f(x)),ps(x),

r2?1(x)则(f(x),f'(x))?p1r1?1(x)p2即f(x)与g(x)有完全相同的不可约因式，但g(x)的不可约因式都是单因式。 例8:如果a是f'''(x)的一个k重因式，证明：a是

g(x)?.x?a'(f(x)?f'(a))?f(x)?f(a)的一个k?3重根。 2

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