2.1.2空间直线与直线之间的位置关系

第二课时 空间中直线与直线之间的位置关系

（一）教学目标1．知识与技能

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；

（4）理解并掌握等角公理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。2．过程与方法

让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点

重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.（三）教学方法

师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程 教学内容 师生互动 师投影问题，学生讨论回答设计意图 问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？ 生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.以旧导新生2：空间的两条直线除平培养学生知识的系统性和学生学习的积极性. 新课导入 行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线??师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系. 1．空间的两条直线位置关系：探索新知 师：根据刚才的分析，空相交直线：同一平面内，间的两条直线的位置关系有以有且只有一个公共点； 共面直线 下三种：①相交直线—有且仅平行直线：同一平面内，没有公共点 有一个公共点 异面直线：不同在任何一个平面②平行直线—在同一平面

内，没有公共点. 内，没有公共点.③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点. 随堂练习：现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直如图所示P50-16是一个正线，它们是共面直线.一类是异方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有 对.面直线，它们不同在任何一个平面内.培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解 师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG. 学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内” （1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例2 如图所示，空间四边形培养学生观察师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.能力语言表达能力和探索创新的意识.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条通过分析和引导，培养学生解题能力. 求证：四边形EFGH是平行四直线的所有直线都互相平行.它边形.可以用来证明两条直线平行.证明：连接BD，师（肯定）下面我们来看

因为EH是△ABD的中位一个例子线，1所以EH∥BD，且EH?BD.2观察图，在长方体ABCD – A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′同理FG∥BD，且FG?1BD.2C′，∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组因为EH∥FG，且EH = FG，所以 四边形EFGH为平行四边角的大小关系如何？形. 生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A′D′C′，∠ADC + ∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：??这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路. 3．异面直线所成的角师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论. （1）异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所探索新知 成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关； ②两条异面直线所成的角 加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力. （2）异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b. 例3 如图，已知正方体???(0,]； 2③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可

ABCD – A′B′C′D′. （1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ （2）直线BA′和CC′的夹角是多少？ （3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？ 以把点O选在两条异面直线的某一条上； ④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角； ⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条解：（1）由异面直线的定义可异面直线互相垂直，异面直线a知，棱AD、DC、CC′、DD′、和b互相垂直，也记作a⊥b； D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线. ⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相（2）由BB′∥CC′可知，交的，也可能是不相交的，即∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的有共面垂直，也有异面垂直这夹角，∠B′BA′= 45°. （3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 1．填空题： 学生独立完成 答案：. 2．（1）因为BC∥B′C′，所 一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有 条. 随堂练习 （2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ . 答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补. 以∠B′C′A′是异面直线A′C′与样两种情形. 然后师生共同分析例题 （1）如图，AA′是长方体的BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=23，B′C′=23，所以∠B′C′A′ = 45°. （2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′ 和BB′ 所成的角. 在Rt△BB′C′中，B′C′ = AD =23，BB′= AA′=2， 所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°. 因此，异面直线AA′与BC′ 2．如图，已知长方体ABCD 所成的角为60°.

– A′B′C′D′中，AB =23，AD =23，AA′ =2. （1）BC和A′C′所成的角是多少度？ （2）AA′ 和BC′ 所成的角是多少度？ 培养学生归纳1．空间中两条直线的位置归纳总结 关系. 2．平行公理及等角定理. 3．异面直线所成的角. 学生归纳，教师点评并完善 总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构. 作业 2.1 第二课时 习案 学生独立完成 固化知识 提升能力 附加例题

例1 “a、b为异面直线”是指： ①a∩b =?，且a∥b；

②a?面?，b?面?，且a∩b =?； ③a?面?，b?面?，且?∩?=?； ④a?面?，b?面?；

⑤不存在面?，使a?面?，b?面?成立. 上述结论中，正确的是（ ） A．①④⑤正确 C．仅②④正确

B．①③④正确 D．仅①⑤正确

【解析】 ①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D

例2 如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的

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