1.2子集、全集、补集讲义

苏教版高中数学必修1讲义 刘芳科老师

1.2 子集、全集、补集

教学目标：1、 了解集合的包含、相等关系的意义；

2、 理解子集、真子集、补集的概念以及全集的意义。

3、 梳理集合子、交、并、补的概念、性质和记号以及它们之间的关系。 教学重点：集合的基本概念与表示方法，子集与补集的概念，梳理集合的基本概念和性质。 教学难点：1、会正确应用集合的概念和性质解决一些简单的问题。

2、 集合的两种常用表示方法即列举法与描述法的运用以及弄清元素与子集、属于与包含之间的区别与联系。

要点一 子集、真子集[重点]

在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：

正整数集中的所有元素都在自然数集中； 自然数集中的所有元素都在整数集中； 整数集中的所有元素都在有理数集中； 有利数集中的所有元素都在实数集中.

其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系. 1．子集

(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A?B或B?A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A” .

(2)举例：

例如，{4，5}?Z，{4，5}?Q，Z?Q，Q?R.A?B可以用图1-2-1来表示. (3)理解子集的定义要注意以下四点：

①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1}?{-1，0，1，2}.

②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属 于集合A本身，记作A?A.

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③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有??A.

④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A=?，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集.

⑤对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”结论：A=B。注意：A?B有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

以上②③点告诉我们，在求某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况. (4)例题：

例1 设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A?B，求a的值. 解：∵A?B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，

由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.

经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为-1，2. 2．真子集

(1)定义：如果A?B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记作A?B或B?A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”. (2)举例：

{1，2}?{1，2，3}.

(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集。

②对于集合A、B、C，如果A?B，B?C，那么A?C。 ③对于集合A、B若：A?B且B?A则A=B。 若：A? B 且A?B则A ?B。

④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“?”表示；集合 与集合之间的关系是包含于“?”、不包含于“?”、真包含于“?”、相等“=”的关系。 (4)例题：

例2 写出集合{a,b,c}的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a,b,c}的所有子集是：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}. 其中除了{a，b，c}外，其余7个集合都是它的真子集.除了?，{a，b，c}外，其余6个都是它的非空真子集.

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练习：

1．判断下列命题的正误：

(1){2，4，6}?{2，3，4，5，6}； (2){菱形}?{矩形}； (3){x|x2+1=0}?{0}； (4){(0，1)}?{0，1}.

解题提示： 根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.

解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是?，而?是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 点 评 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合中. 2．写出集合A={p，q，r，s}的所有子集.

解题提示： 根据集合A的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉. 解：集合A的子集分为5类，即 (1)?；

(2)含有一个元素的子集：{p}，{q}，{r}，{s}；

(3)含有两个元素的子集：{p，q}，{q，r}，{r，s}，{s，p}，{p，r}，{q，s}； (4)含有三个元素的子集有：{p，q，r}，{p，q，s}，{q，r，s}，{p，r，s}； (5)含有四个元素的子集有：{p，q，r，s}．

综上所述：集合A的子集有?，{p}，{q}，{r}，{s}，{p，q}，{q，r}，{r，s}，{s，p}，{p，r}，{q，s}，{p，q，r}，{p，q，s}，{q，r，s}，{p，r，s}，{p，q，r，s}，共16个．

点 评

给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个. 3．给出下列命题：

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若?

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?A，则A≠?．其中正确的序号有____④______．

解题提示： 从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.

解析：①错误，空集是任何集合的子集，???；②错误，如空集的子集只有1个；③错误，?不是?的真子集；④正确，∵?是任何非空集合的真子集. 点 评 求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A，有??A.

(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A，有A?A.

4．满足集合{1，2，3}?M?{1，2，3，4，5}的集合M的个数是 __2____ ．

解题提示： 根据所给关系式，利用{1，2，3}是M的真子集，且M真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M中的元素个数.

解析：依题意，集合M中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M?{1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}．

点 评 (1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M中含有元素的可能情况，然后根据集合M中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.

(2)若{ a 1，a 2，…，am } ? A ? {a 1，a 2，…，am ，am+1，…，an } ，则A的个数为2n－

m

.

若{ a 1，a 2，…，am }?A?{a 1，a 2，…，am ，am+1，…，an }，则A的个数为2n－m -1. 若{ a 1，a 2，…，am }?A?{a 1，a 2，…，am ，am+1，…，an }，则A的个数为2n－m -2.

要点二 补集、全集[重点] 1．补集

设A?S，由S中不属于A的所有 元素组成的集合称为S的子集A的补集， 记作?S A(读作“A在S中的补集”)，即

?S A={ x | x∈S，且x?A}.C S A可用图1-2-2中的阴影部分来表示. 2．全集. (1)定义：

如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U. (2)举例：

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例如，在实数范围内讨论集合时，R便可看做一个全集U，在自然数范围内讨论集合时，N便可看做一个全集U.

3．理解补集、全集要注意以下两点：

(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.

(2)求子集A在全集U中的补集的方法：从全集U中去掉所有属于A的元素，剩下的元素组成的集合即为A在U中的补集.如已知U=? a，b，c，d，e，f ? ，A=? b，f ? ，求C U A.该题中显然A?U，从U中除去子集A的元素b、f ，乘下的

a、c、d、e组成的集合即为?UA=?a，c，d，e ? .另外，原题若是无限集，在实数范围内求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R，A=?x ? x≤3 ? ，求?UA.用数轴表示如图1-2-3，可知?UA=?x ? x > 3 ?.

性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

4．例题 例2

?2x-1>0，?

不等式组?

??3x-6≤0

的解集为A，U=R.试求A及CUA，并把它们分别表示在数轴上.

1221??解：A=?x ? 2 x -1 > 0且3 x–6 ≤ 0 ?=?x1

2??练习

5．已知全集U=R，集合A={ x |1< x ≤6}，求CUA. 解题提示： 在数轴上标出集合A，结合补集的定义求解.

解：根据补集的定义，在实数集R中，由所有不属于A的实数组成的集合，就是CUA，如图1-2-5，结合数轴可知，CUA={ x |1< x ≤6}. 点 评 016x涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍. 6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x|x∈A，且x<1}，C={x|x-1?A，且

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