2012-2013学年北京市燕山区九上期末数学试卷
一、选择题（共7小题；共35分）
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是 ??
A. 等边三角形
B. 直角三角形
C. 平行四边形
D. 圆
2. 如图，在 △?????? 中，∠??=90°，????=2，????=3，则 cos?? 的值为 ??
A.
3
2
B.
2
3
C. 63
D. 5 3. 已知 ⊙??1 的半径为 2 cm，⊙??2 的半径为 5 cm，圆心距 ??1??2=7 cm，则 ⊙??1 与 ⊙??2 的位置关系是 ?? A. 相交
B. 内切
C. 外切
D. 外离
4. 团支部王书记将 6 本莫言作品分别放在 6 个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小李等 6 位在读书活动中表现突出的员工．这些奖品中 3 本是《红高粱家庭》，2 本是《蛙》，1 本是《生死疲劳》．小李从中随机取一个礼盒，恰好取到《蛙》的概率是 ??
16
13
12
23
A. B. C. D.
5. 将抛物线 ??=3??2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是 ?? A. ??=3 ???2 2+1 C. ??=3 ??+2 2+1
B. ??=3 ???2 2?1 D. ??=3 ??+2 2?1
6. 如图，∠1=∠2，则下列各式中，不能说明 △??????∽△?????? 的是 ??
A. ∠??=∠?? B. ∠??=∠??
1??
C. ????=????
????????
D. ????=???? ????????
7. 已知 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 两点都在函数 ??= 的图象上，且 ??1
C. ??2>??1>0
D. ??2
A. ??1??2>0
二、填空题（共4小题；共20分）
8. 如图，在 △?????? 中，点 ?? 、 ?? 分别在边 ???? 、 ???? 上，????∥????，????=10，????=5，????=6，则 ???? 的长为 ．
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9. 如图，⊙?? 是 △?????? 的外接圆，点 ?? 在优弧 ???? 上，∠??????=100°，则 ∠?? 的度数为 ．
10. 已知 ⊙?? 的半径为 5 cm，???? 为 ⊙?? 直径，弦 ????⊥???? 于点 ??，????=8 cm，则线段 ???? 的长
为 cm．
11. 如图，在 △?????? 中，∠??????=90°，∠??=30°，????=1，???? 在直线 ?? 上．将 △?????? 在直线 ?? 上
顺时针滚动一周，滚动过程中，三个顶点 ??，??，?? 依次落在 ??1，??2，??3 处，此时 ????3= ；按此规律继续旋转，直到得点 ??2012，则 ????2012= ．
三、解答题（共5小题；共65分）
12. 将一根长为 16π 厘米的细铁丝剪成两段，并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为 ?? 和 R，
面积分别为 ??1 和 ??2．
（1）求 R 与 ?? 的数量关系式，并写出r的取值范围；
（2）记 ??=??1+??2，求 ?? 关于 ?? 的函数关系式，并求出 ?? 的最小值． 13. 已知二次函数 ??=??2+????+3 的图象经过点 3,0 ．
（1）求 ?? 的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标；
（3）在所给坐标系中画出该函数的图象（不要求列对应数值表，但要求尽可能画准确）． 14. 如图，??，?? 两座城市相距 100 千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段 ???? ）．经
测量，森林保护区中心 ?? 点既在 ?? 城市的北偏东 30° 的方向上，又在 ?? 城市的南偏东 45° 的方向上．已知森林保护区的范围是以 ?? 为圆心，35 千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区?请通过计算说明．
（参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414 ）
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15. 北京市初中毕业男生体育测试项目有三项，其中“1000 米跑”和“篮球往返运球”为必测项目，另
一项是从“引体向上”和“掷实心球”中任选一项．分别用 A，B 代表“引体向上”和“掷实心球”．甲、乙、丙三名同学各自随机从 A 和 B 中选择一个项目参加测试． （1）请用画树状图的方法表示出所有可能出现的选择结果； （2）求甲、乙、丙三名同学选择同一个测试项目的概率．
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线 ??=???+2 交 ?? 轴于点 ??，交 ?? 轴于点 ??．抛物线 ??=
31
?2??2+????+?? 的图象过点 ?? ?1,0 ，并与直线相交于 ??，?? 两点．
1
（1）求抛物线的解析式（关系式）；
（2）过点 ?? 作 ????⊥???? 交 ?? 轴于点 ??，求点 ?? 的坐标；
（3）除点 ?? 外，在坐标轴上是否存在点 ??，使得 △?????? 是直角三角形?若存在，请求出点 ??
的坐标；若不存在，请说明理由．
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答案
第一部分 1. D 6. D 8. 3
【解析】∵????∥????， ∴∴
????????105
2. A 7. D 3. C
4. B 5. A
第二部分
==
????????6????
.
. 解得 ????=3 . 9. 50° 10. 2 或 8
11. 3+ 3，2012+671 3 第三部分
12. （1） 由题意，有 2πr+2πR=16π，则 ??+R=8， ∵??>0，R>0， ∴0
即 ?? 与 R 的关系式为 ??+R=8，?? 的取值范围是 0
=π??2+πR2
=π??2+π 8??? 2
.
=2π??2?16π??+64π=2π ???4 2+32π
∴ 当 ??=4 厘米时，?? 有最小值 32π 平方厘米．
13. （1） ∵ 二次函数 ??=??2+????+3 的图象经过点 3,0 ， ∴9+3??+3=0． ∴??=?4．
（2） ∵ 该二次函数为 ??=??2?4??+3= ???2 2?1， ∴ 该二次函数图象的顶点坐标为 2,?1 ． （3） 描点作图如下：
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14. 如图：过 ?? 作 ????⊥???? 于 ??，
在 Rt△?????? 中，∠??????=90°，∠??=45°， ∴????=????．
在 Rt△?????? 中，∠??????=90°，∠??=30°， ∴????=tan??=tan30°= 3????．
由题意，????+????=????=100，得 3????+????=100， ∴????=
100 3+1????
????
≈36.6>35，
故计划修筑的高速公路不会穿过保护区． 15. （1） 画树状图得：
∴ 所有可能出现的选择结果有 8 个，即：（A，A，A），（A，A，B），（A，B，A），（A，B，B），（B，A，A），（B，A，B），（B，B，A），（B，B，B）．
（2） ∵ 共有 8 种等可能的结果，而甲、乙、丙三名同学从 A 和 B 中选择同一个测试项目的结果有 2 个，即（A，A，A）和（B，B，B），
∴?? 甲、乙、丙三名同学选择同一个测试项目 ==．
8
42
1
1
16. （1） ∵??=?3??+2，
∴ 当 ??=0 时，??=2；当 ??=0 时，??=6． ∴ 点 ??，?? 的坐标分别为 ?? 6,0 ，?? 0,2 ． ∵ 点 ??，?? 在抛物线上，
??=2,∴
解得 ??=．
23
1
0=????+??,
2∴ 抛物线的解析式为 ??=?2??2+2??+2． （2） ∵????⊥????，????⊥????，
∴∠??????=∠??????=∠??????=90°，∠??????+∠??????=90°．
13
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∵∠??????+∠??????=90°， ∴∠??????=∠??????． ∴△??????∽△??????． ∴????=????，????=∴?? ?,0 ．
32
????
????
????2????
=
226
=3．
2
（3） 存在．
假设除点 ?? 外还存在点 ??，使 △?????? 为直角三角形．
Ⅰ．若 ∠??????=90°，可求得点 ?? 3,9 ． 过点 ?? 作 ????1⊥???? 交 ?? 轴于点 ??1．
设 ??1 ??,0 ，作 ????⊥?? 轴于点 ??，则 △??????1∽△??????． ∴????2=??1???????． ∴
113
113
72
117
??? 6?
92
= 9 ，
解得 ??=27． ∴??1 27,0 ．
Ⅱ．若 ∠??????=90°，则 ?? 点是以 ???? 为直径的圆与坐标轴的交点． 图中 ??2，??3，??4 为满足条件的点． ① 当点 ??2 在 ?? 轴上时，连接 ????2． ∵∠????2??=90°． ∴ 四边形 ????????2 为矩形． ∴????2=????=9． ∴??2 0, ．
9
② 当点 ??3 在 ?? 轴上时，连接 ????3，????3． 设 ??3 ??,0 ，则 ????3=∵△??????3∽△??3????． ∴
????3????
????????3
113
113
7
7
92
???．
7
=，??
6
??? =2×，
9
11+ 65． 6
解得 ??1=
11? 65,??2=
经检验 ??1，??2 均符合题意，
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∵∠??????+∠??????=90°， ∴∠??????=∠??????． ∴△??????∽△??????． ∴????=????，????=∴?? ?,0 ．
32
????
????
????2????
=
226
=3．
2
（3） 存在．
假设除点 ?? 外还存在点 ??，使 △?????? 为直角三角形．
Ⅰ．若 ∠??????=90°，可求得点 ?? 3,9 ． 过点 ?? 作 ????1⊥???? 交 ?? 轴于点 ??1．
设 ??1 ??,0 ，作 ????⊥?? 轴于点 ??，则 △??????1∽△??????． ∴????2=??1???????． ∴
113
113
72
117
??? 6?
92
= 9 ，
解得 ??=27． ∴??1 27,0 ．
Ⅱ．若 ∠??????=90°，则 ?? 点是以 ???? 为直径的圆与坐标轴的交点． 图中 ??2，??3，??4 为满足条件的点． ① 当点 ??2 在 ?? 轴上时，连接 ????2． ∵∠????2??=90°． ∴ 四边形 ????????2 为矩形． ∴????2=????=9． ∴??2 0, ．
9
② 当点 ??3 在 ?? 轴上时，连接 ????3，????3． 设 ??3 ??,0 ，则 ????3=∵△??????3∽△??3????． ∴
????3????
????????3
113
113
7
7
92
???．
7
=，??
6
??? =2×，
9
11+ 65． 6
解得 ??1=
11? 65,??2=
经检验 ??1，??2 均符合题意，
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