数学分析第三学期试题

《数学分析》《第三学期》期末考试试题

一．将函数f?x??x2????x???展开为Fourier级数（10分） 二．计算（每题9分共54分） 1． 求极限limx?y

x??x2?xy?y2y??dz dxx?02． 设z?arctan?x?y?,y?e2x，求

3． 求二重积分

?2?x2?y2?4?2??sinx2?y2dxdy

?z?zxz?ln确定的，求及

?x?yzy4． 设函数z?z?x,y?是由方程

5．求第二型曲线积分I?曲线 6．求三重积分

?x?1?dy?ydx??L?x?1?2?y2，其中L为环绕点?1,0?的简单、可求长的闭

???Vx2?y2dxdydz,其中V是由曲面x2?y2?z2,z?1所界的区域

三．判断反常积分

???0sinx3?11?pdx关于在?,?上的一致收敛性（10分） ?xp?22?四．（第1题10分，第2题16分共26分） 1．设f?xy,?,fyx?y,并且在?c,d?上成立

2．设

?都在?a,b???c,d?上连续，则I?y???af?x,y?dx在?c,d?上可微，

bdI?y???fy?x,y?dx adyb?xy22,x?y?0?22f?x,y???x?y

?22,x?y?0?0,证明：（1）f?x,y?在?0,0?的邻域中连续；

（2）f?x,y?在?0,0?的邻域中具有有界的偏导函数fx??x,y?，fy??x,y?；

（3）f?x,y?在点?0,0?不能微分。

《数学分析》《第三学期》期末考试试题

一. 概念题（5分）

叙述含参变量的无穷积分?一致收敛的定义.

二. 填空题（每题3分，共15分）

1. 函数u?xyz在点(1,1,1)沿l??2,?1,3?的方向导数为 .

x2y22. 设x?x(y)是由方程2?2?1所确定的函数, 则

abdx? . dy??1f(x,y)dx关于参数y在数集Y上不

3. limsinxy? . x?0xy?1x2y2z24. 设z?z(x,y)是由方程2?2?2?1所确定的函数, 则

abc?z? . ?x5. 螺旋线x?acost,y?asint,z?ct上对应t?为 .

三. 计算题（每题6分，共30分）

1. 求I???e(D)?(x2?y2)?3处的切线

dxdy的值, 其中(D)是闭圆域0?x2?y2?R2.

2. 设u?f(x,y), 且其一阶、二阶偏导数都存在且连续. 若

?2u?2ux?rcos?,y?rsin?, 求2，2.

?r??3. 用柱坐标变换计算I????zdxdydz, 其中(V)是上半球体:

(V)x2?y2?z2?1,z?0.

4. 求函数u?x2?xy?y2?2x?y的极值. 5. 计算

(S)外???33, 其中(S)为球面x3dydz?ydzdx?zdxdyx2?y2?z2?. R四. 解答题（每题10分，共50分） 1. 求I???L?xdy?ydx, 其中L为以(1,0)为圆心, R为半径的圆周224x?y(R?1), L?表示 逆时针方向.

2. 设函数f(x,y)在矩形[a,b]?[c,d]上连续, 则?(y)??f(x,y)dxab在[c,d]上连续. 3. 试验证函数h(x,y)?都存在, 但在(0,0) 不可微.

4. 求(2x?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy的原函数.

5. 设平面区域(D)在x轴和y轴上投影长度分别为lx,ly, ??,??为

xy在原点(0,0)点连续, 且两个偏导数

(D)内任一点,

122(x??)(x??)dxdy?lxly. 证明: ??4(D)

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