《数学建模》 实验报告

《数学建模》实验报告

实验一：matlab函数拟合

学时：4学时

实验目的：掌握用matlab进行函数拟合的方法。 实验内容：

解：

问题分析 制定“2秒准则”是为了在后车急刹车的情况下不致撞上前车，即要确定汽车的刹车距离。显然，刹车距离与车速有关。

刹车过程分为两个阶段，第一阶段：司机反应阶段，是指从司机决定刹车到制动机开始起作用，这个阶段时间内汽车行驶的距离称为反应距离；第二阶段：从制动机开始起作用到汽车完全停止行驶，这个阶段称为制动阶段，在这阶段时间内汽车行驶的距离称为制动距离。因此，刹车距离=反应距离+制动距离。

反应距离由反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况和制动机的灵敏性，对于一般规则可以视反应时间为常数，且在这段时间内车速未改变。

制动距离与制动器作用力、车重、车速以及道路、气候等因素有关，制动器是一个能量耗散装置，制动力做的功被汽车动能的改变所抵消。对于一般规则又可以看做固定的。

模型假设 基于上述分析，做以下假设： 1）

刹车距离为d，反应距离为d1，制动距离为d2，且刹车距离等于反应距离与制动距离之和，即d?d1?d2.

2） 3）

模型建立 由假设2，

d1?t1v?k1v （1）

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反应距离为d1与车速为v成正比，比例系数为反应时间t1.

刹车使用最大制动力F,F作的功等于汽车功能的改变，且F与车的质量m成正比，即F?ma.

由假设3，在F的作用下行驶了距离

d2所作的功为Fd2使车速从v变成0，动能

的变化为mv22，有Fd2?mv22，又F?ma，即F?m，由牛顿第二定律知，刹车时的加速度a为常数，于是

d2?kv2 （2）

而实际上mv22?mad2?d2?v22?kv2，k?12a.

由假设1，刹车距离为

d?t1v?kv2 （3）

模型求解 用matalb函数拟合法求解. 建立M函数f1.m： function y=f1(k,v) y=k(1).*v+k(2).*v.*v;

在matalb窗口中输入：

>> v=[20,40,60,80,100,120,140]./3.6; >> y=[6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118.0,153.5]; >> k=lsqcurvefit(@f1,[20,140],v,y)

Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun. k =

0.6522 0.0853

得到二次拟合多项式 y?0.6522v?0.0853v. 即 d?0.6522v?0.0853v

22模型应用 根据经验估计，我们可以认为反应时间t1=0.6522秒是合理的，刹车时间

t?dv.

按照上述模型可以将“2秒准则”修正为t秒准则，即后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒后到达同一标志。 车速20 40 60 80 100 120 140 154.3664 3.9694 （km/h） 计算刹车 6.2560 17.7775 34.5644 56.6168 距离（m） 刹车时间1.1261

第 2 页 共 23 页

83.9346 116.5178 3.0216 3.4955 1.6000 2.0739 2.5478

（秒） 后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志，t由下表给出： 车速(km/h) t(秒) 0—10 1 10-60 2 60—100 3 100-140 4 可见，2秒是相对的，即所谓的“2秒准则”是不合理的，刹车时间与车速有关，应根据车速来确定刹车时间。

实例2：根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型（Logistic模型）中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。

表1 美国人口统计数据

年 份 人口(×106) 年 份 人口(×106) 年 份 人口(×10) 61790 3.9 1860 31.4 1930 123.2 1800 5.3 1870 38.6 1940 131.7 1810 7.2 1880 50.2 1950 150.7 1820 9.6 1890 62.9 1960 179.3 1830 12.9 1900 76.0 1970 204.0 1840 17.1 1910 92.0 1980 226.5 1850 23.2 1920 106.5

解：

问题分析 最简单的人口增长模型：记今年人口为x0，k年以后人口为xk，年增长

率为r，则

xk?x0(1?r) （1）

k其中年增长率r保持不变.

模型建立 记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，

x(t)是一个很大的整数，我们将x(t)视为连续、可微的函数，记初始时刻(t?0)的人口为x0，假设人口年增长率r为常数.考虑t到t??t时间内人口的增量，显然，有

x(t??t)?x(t)?rx(t)?t

令?t?0，得到x(t)满足微分方程

dx?rx dt由方程（2）解得

，

x(0)?x0 （2）

x(t)?x0ert （3）

r?0 时（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型.

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当人口增长到一定数量后，由于自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，人口增长率就会下降，且随着人口的增加，阻滞作用越来越大.。所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。

阻滞作用于体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降，若将r表示为x的函数r(x),则它应是减函数。于是方程

dxdt?r(x)x，x(0)?x0。对r(x)的一个

最简单的假定是，设r(x)为x的线性函数，即r(x)?r?sx(r?0,s?0)。这里r称固有增长，表示人口很少时（理论上是x?0）的增长。为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，称人口容量。当x?xm时人口不再增长，即增长率

r(xm)?0，代入r(x)?r?sx(r?0,s?0)得s?rxm，于是r(x)?r(1?xxm)，这个式子的

另一个解释是，增长率r(x)与人口尚未实现部分的比例(xm?x)/xm成正比，比例系数为固有增长率r。 故，有

dxdt?rx(1?xxm)，x(0)?x0 （3）

方程右端的因子rx体现人口自身的增长趋势，因子(1?xxm)则体现了资源和环境对人口增

长的阻滞作用，显然，x越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。用分离变量法求解得到：x(t)?1?(xmxmx0?1)e?rt

模型求解 用matlab进行数据拟合，其结果为：

x(t)?1?(311.9523311.95233.9?1)e?0.2798t （4）

将t?2000代入（4）由以上结果预测2000年的人口为x(2000)?255.3640.

附：计算过程：

用matlab进行数据拟合： 建立M文件：

function x=f2(a,t)

x=a(1)./(1+(a(1)./3.9-1).*exp(-a(2).*(t-1790)./10));

第 4 页 共 23 页

程序运行：

>> x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4]; >> t=1790:10:1990;

>> a=lsqcurvefit(@f2,[100,0.2],t,x)

Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun. a =

311.9523 0.2798

>> tt=1790:10:1990;xx=f2(a,tt);

>> plot(t,x,'r',tt,xx)； %画图 >> f2(a,2000) ans =

255.3640 %计算年份2000年人口

拟合效果如图

实验二：用Lindo求解线性规划问题

学时：4学时

实验目的：掌握用Lindo求解线性规划问题的方法，能够阅读Lindo结果报告。 实验内容：

第 5 页 共 23 页

解：

问题分析 在一定条件下，如何分配投资资金从而获得最大收益，该问题转化为在约束条

件下求目标函数最优解.

模型假设 基于以上分析，做如下假设： 1） 做广告次数：电视白天x1次，最佳时段x2次，网络媒体x3次，杂志x4次.

2）

广告次数是非负整数.

模型建立 受广告影响顾客数为z，由表中数据，有

z?350x1?880x2?430x3?180x4 (1)

由题中的4个要求，约束条件有：

260x1?450x2?160x3?100x4?2000 （2）

45x1?86x2??450 (3) x1??4 (4) x2??2 (5) x3??5且x3??8 (6) x4??5且x4??8 (7)

45x1?86x2?25x3?12x4??750 (8)

由假设2，知 x1,x2,x3,x4都大于等于零.

要使得受广告影响顾客数最大，即问题转化为：在约束条件（2）——（8）下，求 MAX z?350x1?880x2?430x3?180x4.

模型求解 用Lindo求解

max 350x1+880x2+430x3+180x4 s.t.

240x1+450x2+160x3+100x4>2000

第 6 页 共 23 页

-45x1-86x2>-450 x1>4 x2>2 x3>5 -x3>-8 x4>5 -x4>-8

-45x1-86x2-25x3-12x4>-750 end gin4

运行结果得：

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 9042.791

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 4.000000 0.000000 X2 3.139535 0.000000 X3 8.000000 0.000000 X4 8.000000 0.000000 而由假设知，x1,x2,x3,x4都取整数，故

x1?4,x2?3,x3?8,x4?8，影响顾客数最优解值为：

z?350x1?880x2?430x3?180x4?8920 或做课本137页

实例2：求解书本上P130的习题1。列出线性规划模型，然后用Lindo求解，根据结果报告得出解决方案。

解：问题分析 在一定的条件下，要如何合理分配投资资金从而获得最大收益。这问题转化为在一定的约束条件下，求目标函数的最优解。

模型假设 基于以上分析，做如下假设：

1） 购买证券A、B、C、D、E分别用x1,x2,x3,x4,x5万元， 且x1,x2,x3,x4,x5都大于等于零. 2） 投资总收益为z（万元）. 模型建立 总收益为目标函数：

Max z?0.043x1?0.027x2?0.025x3?0.022x4?0.045x5 （1） 所要满足的约束条件为：

x2?x3?x4?400 （2）

第 7 页 共 23 页

由

2x1?2x2?x3?x4?5x5x1?x2?x3?x4?x5?1.4

得6x1?6x2?4x3?4x4?36x5?0 （3） 9x1?15x2?4x3?3x4?2x5x1?x2?x3?x4?x5?5

由

得 4x1?10x2?x3?2x4?3x5?0 （4） 模型求解 用Lindo求解

（1） 若该经理有1000万元资金， 即

有x1?x2?x3?x4?x5?1000 （5） 在Lindo窗口输入：

max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5 s.t.

x2+x3+x4>400

0.6x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4+3.6x5<0 4x1+10x2-x3-2x4-3x5<0 x1+x2+x3+x4+x5<1000 end

运行结果：

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 29.83636

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 218.181824 0.000000 X2 0.000000 0.030182 X3 736.363647 0.000000 X4 0.000000 0.000636 X5 45.454544 0.000000

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 0.043000 0.003500 0.013000 X2 0.027000 0.030182 INFINITY X3 0.025000 0.017333 0.000560 X4 0.022000 0.000636 INFINITY

X5 0.045000 0.052000 0.014000 所以，证券A,C,E分别投资218.182,736.364,45.455万元，最大税后收益为29.83636万元。

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（2）由（1）的结果可知，如果资金增加100万元，收益可增加2.983636万元，而以2.75%的利率借到的100万元的利息为2.75万元，可见收益大于利息，故应该借贷。 投资方案总金额由（5）改为 ：x1?x2?x3?x4?x5?1100 （6） 输出结果：

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 32.82000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 240.000000 0.000000 X2 0.000000 0.030182 X3 810.000000 0.000000 X4 0.000000 0.000636 X5 50.000000 0.000000

最大收益为 32.82000 -2.75=30.07万元.

(3)由（1）的结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增0.35%，可以增到4.3%+0.35%＝4.65%，所以证券A的税前收益增为0.45%，投资不应改变；证券C的税前收益可减0.112%， 可以允许减少到5%-0.112%＝4.880%，所以证券C的税前收益减少为4.8%，投资应改变。

实验三：用Lingo求解非线性规划问题

学时：2学时

实验目的：掌握用Lingo求解非线性规划问题的方法。 实验内容：

求解书本上P132的习题6、7。列出非线性规划模型，然后用Lingo求解，根据结果报告得出解决方案。

P132习题6 解:

模型假设 产品A中来自混合池和原料丙质量分别为y1,z1吨，产品B中来自混合

池和原料丙质量分别为y2,z2吨，混合池中的原料甲、乙、丁所占的比例分别为x1,x2,x4.生产的目的是获得最大利润，问题转化为求目标函数最优解.

模型建立 目标函数为

Max

(9?6x1?16x2?15x4)y1?(15?6x1?16x2?15x4)y2?(9?10)z1?(15?10)z2约束条件为：

原料最大供应量：x4(y1?y2)?50

产品最大需求量：y1?z1?100,y2?z2?200 产品最大含硫酸量：

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对于产品A，

(3x1?x2?x4)y1?2z1y1?z1?2.5，

即(3x1?x2?x4?2.5)y1?0.5z1?0

对于产品B，(3x1?x2?x4?1.5)y2?0.5z2?0

另外，x1?x2?x4?1，x1,x2,x4,y1,y2,z1,z2都大于等于零.

模型求解 用Lingo求解

max=(9-6*x1-16*x2-15*x4)*y1+(15-6*x1-16*x2-15*x4)*y2-z1+5*z2; x4*(y1+y2)<=50; y1+z1<=100; y2+z2<=200;

(3*x1+x2+x4-2.5)*y1-0.5*z1<=0; (3*x1+x2+x4-1.5)*y2+0.5*z2<=0; x1+x2+x4=1; end 输出结果：

Local optimal solution found.

Objective value: 450.0000 Total solver iterations: 15

Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 200.0000 X2 0.5000000 0.000000 X4 0.5000000 0.000000 Y1 0.000000 4.000000 Y2 100.0000 0.000000 Z1 0.000000 0.000000

Z2 100.0000 0.000000 所以，x2?x4?0.5，y2?z2?100，其余为0；目标函数最优解为450.

P132的习题7 解：

模型建立

决策变量 用xi表示第ii种模式切割的原料钢管的根数，显然它们都是非负整数的. 决策目标 以费用最小为目标，min?1.1x1?1.2x2?1.3x3?1.4x4；

设使用第i种切割模式下每根钢管生产290,315,350,455的钢管根数分别为

r1i,r2i,r3i,r4i （i=1,2,3,4）,

于是

约束条件

第 10 页 共 23 页

为满足客户要求的条件，应有

r11x1?r12x2?r13x3?r14x4?15； r21x1?r22x2?r23x3?r24x4?28； r31x1?r32x2?r33x3?r314x4?21； r41x1?r42x2?r43x3?r44x4?30；

每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不超过1850mm，也不可以少于1750mm（即预料不大于100mm）， 于是

290r11?315r21?350r31?455r41?1850； 290r12?315r22?350r32?455r42?1850； 290r13?315r23?350r33?455r43?1850； 290r14?315r24?350r34?455r44?1850； 290r11?315r21?350r31?455r41?1750； 290r12?315r22?350r32?455r42?1750； 290r13?315r23?350r33?455r43?1750； 290r14?315r24?350r34?455r44?1750；

原料钢管数不可能少(290?15?315?28?350?21?455?30)1850?18.47。 假如每根钢管只切割成一种长度的钢管，若切成290mm，则可得6根，需要3根1850mm的钢管才能满足顾客要求；若切成315mm，则可得5根，需要6根1850mm的钢管；若切成350mm，则可得5根，需要5根1850mm的钢管；若切成455mm，则可得4根，需要8根1850的钢管。由此可得，最多需要3?6?5?8?22根钢管，于是有

x1?x2?x3?x4?19； x1?x2?x3?x4?22

每种切割模式下每根原料钢管生产的产品数量不能超过5, 于是

r11?r21?r31?r41?5；

r12?r22?r32?r42?5；

r13?r23?r31?r43?5； r14?r24?r34?r44?5

用Lingo软件进行求解： model:

min=1.1*x1+1.2*x2+1.3*x3+1.4*x4;

x1>x2; x2>x3; x3>x4;

r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15; r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28; r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21; r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=30;

290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;

第 11 页 共 23 页

290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850; 290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750; 290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750; 290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750; 290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750; x1+x2+x3+x4>=19; x1+x2+x3+x4<=22; r11+r21+r31+r41<=5; r12+r22+r32+r42<=5; r13+r23+r33+r43<=5; r14+r24+r34+r44<=5;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);

@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14); @gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24); @gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34); @gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44); end

结果输出：

Local optimal solution found.

Objective value: 21.50000 Extended solver steps: 1779 Total solver iterations: 40898

Variable Value Reduced Cost X1 14.00000 1.100000 X2 4.000000 1.200000 X3 1.000000 1.300000 X4 0.000000 1.400000 R11 1.000000 0.000000 R12 0.000000 0.000000 R13 2.000000 0.000000 R14 1.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R22 0.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R24 2.000000 0.000000 R31 0.000000 0.000000 R32 5.000000 0.000000 R33 1.000000 0.000000 R34 0.000000 0.000000 R41 2.000000 0.000000 R42 0.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000 R44 2.000000 0.000000

结果分析 按照模式1,2,4分别切割14,4,1根原料钢管，使用原料钢管总根数19根。 第一种切割模式下一根原料钢管切割成1根290mm规格钢管、2根315 mm规格钢管和2根455 mm规格钢管；

第二种切割模式下一根原料钢管切割成5根350 mm规格钢管； 第三种切割模式下一根原料钢管切割成2根290mm规格钢管、1根350 mm规格钢管和2根455 mm规格钢管；

这样的方案使费用最少，为21.5根钢管的价值。

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实验五：用matlab进行统计分析

学时：4学时

实验目的：用matlab计算基本统计量，常见概率分布的函数，参数估计，假设检验。 实验内容：

1、某校60名学生的一次考试成绩如下:

93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55

1)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图； 2)检验分布的正态性；

3)若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数. 解: 用matlab进行统计分析:

>> data=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55];

>> mean(data)（均值）,std(data)（标准差）,range(data)（极差）,skewness(data)（偏度）,kurtosis(data)（峰度） ans =

80.1000 %均值 ans =

9.7106 %标准差 ans =

44 %极差 ans =

-0.4682 %偏度 ans =

3.1529 %峰度

>> hist(data,5) %画5组频数直方图

>>p=normcdf(53,80.1000,9.7106)-normcdf(97,80.1000,9.7106) p =

-0.9565

>> y=normpdf(53,80.1000,9.7106)-normpdf(97,80.1000,9.7106) y =

-0.0082 %接近0,故符合正态分布

>> [a,b,aci,bci]=normfit(data) %参数估计 a =

80.1000 b =

9.7106 aci =

77.5915 82.6085 bci =

8.2310 11.8436

由表可知均值为：80.10，标准差为：9.71，极差为：97-53=44，偏度为-0.468，峰度为3.1529

第 13 页 共 23 页

此图为直方图

实验六：用matlab进行回归分析

学时：4学时

实验目的：掌握matlab进行回归分析的方法。 实验内容：

解:

问题分析 商品的需求量总是受消费者的收入水平、商品的价格等因素的影响，因此，

我们可以根据统计数据分析，分析各因素对需求量的影响关系，建立数学模型，预测需求量。在一定范围内,消费者平均收入越高,越能刺激消费者消费，消费者购买商品就越多,商品需求量就越大;另一方面,价格高,消费者消费受到抑制，购买商品数就会减少，商品需求量就小.

模型建立 为了大致分析商品需求量y与消费者的平均收入x1及商品的价格x2的关系，

首先利用表中的数据分别作出

y对

x1和

x2的散点图.

第 14 页 共 23 页

1201008060y对x1的散点图y对x2的散点图120100806040y4020200y002004006008001000120014000246810x2x1

图1 y对x1的散点图 图2 y对x2的散点图 从图1中可以发现，从图2中可以发现，

y??0??1x1?? （1） (2)

y??0??1x2??综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型

y??0??1x1??2x2?? (3)

模型求解 用matlab中的统计工具箱中的命令regress求解：

求解得，y?111.6918?0.0143x1?7.1882x2

由回归方程的决定系数R=0.8944，知因变量 y的值89.44%由模型确定，F值远远超过F检验的边界值，P远小于?，因此模型从整体上看是可用的。

2模型应用 将回归系数的估计值代入模型（3），即可预测该商品的需求量y，预测值

?，得到模型（3）的预测方程 记作y??111.6918?0.0143x1?7.1882x2 （4） y?. 只需知道消费者的平均收入x1和商品价格x2，就可以预算预测值y附：计算过程： >> clear;

>> x1=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300]; >> x2=[5 7 6 6 8 7 5 4 3 9];

>> A=[1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300;5 7 6 6 8 7 5 4 3 9]'; >> y=[100 75 80 70 50 65 90 100 110 60]'; >> e=ones(10,1); >> x=[e,A];

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x) b =

第 15 页 共 23 页

111.6918 0.0143 -7.1882 bint =

56.0503 167.3334 -0.0120 0.0406 -13.2306 -1.1458 r =

9.9523 5.0477 -5.7188 -5.7109 -8.4750 -2.0929 -4.3368 1.3344 1.2867 8.7133

rint =

-4.2550 24.1597 -11.3965 21.4918 -17.7850 6.3474 -19.9338 8.5121 -22.0427 5.0927 -18.1130 13.9271 -18.5571 9.8836 -14.5248 17.1936 -12.6974 15.2709 -2.5272 19.9537 stats =

0.8944 29.6533 0.0004 52.0311

第 16 页 共 23 页

实例2：财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。 年份 国民收入工业总产农业总产总人口就业人固定资产投财政收（亿元） 值(亿元) 值（亿元） （万人） 口（万资（亿元） 入(亿人） 元) 1952 598 349 461 57482 20729 44 184 1953 586 455 475 58796 21364 89 216 1954 707 520 491 60266 21832 97 248 1955 737 558 529 61465 22328 98 254 1956 825 715 556 62828 23018 150 268 1957 837 798 575 64653 23711 139 286 1958 1028 1235 598 65994 26600 256 357 1959 1114 1681 509 67207 26173 338 444 1960 1079 1870 444 66207 25880 380 506 1961 757 1156 434 65859 25590 138 271 1962 677 964 461 67295 25110 66 230 1963 779 1046 514 69172 26640 85 266 1964 943 1250 584 70499 27736 129 323 1965 1152 1581 632 72538 28670 175 393 1966 1322 1911 687 74542 29805 212 466 1967 1249 1647 697 76368 30814 156 352 1968 1187 1565 680 78534 31915 127 303 1969 1372 2101 688 80671 33225 207 447 1970 1638 2747 767 82992 34432 312 564 1971 1780 3156 790 85229 35620 355 638 1972 1833 3365 789 87177 35854 354 658 1973 1978 3684 855 89211 36652 374 691 1974 1993 3696 891 90859 37369 393 655 1975 2121 4254 932 92421 38168 462 692 1976 2052 4309 955 93717 38834 443 657 1977 2189 4925 971 94974 39377 454 723 1978 2475 5590 1058 96259 39856 550 922 1979 2702 6065 1150 97542 40581 564 890 1980 2791 6592 1194 98705 41896 568 826 1981 2927 6862 1273 100072 73280 496 810

解：

模型建立 为了大致分析财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、

就业人口、固定资产投资等因素关系。 我们记：

x1：国民收入 x2：工业总产值 x3：农业总产值 x4：总人口 x5：就业人口

x6：固定资产投资 y：财政收入

即要研究y与x1，x2，x3，x4，x5，x6的关系，首先利用表中的数据分别作出y对x1，x2，x3，x4，x5，x6的散点图.

第 17 页 共 23 页

财政收入对国民收入的散点图100090080070060050040030020010000500100015002000国民收入x1250030003500财政收入y

图1 y对x1的散点图

财政收入对工业总产值的散点图10009008007006005004003002001000010002000300040005000工业总产值x2600070008000财政收入y

图2 y对x2的散点图

财政收入对农业总产值的散点图100090080070060050040030020010000200400600800农业总产值x3财政收入y100012001400

图3 y对x3的散点图

第 18 页 共 23 页

财政收入对总人口的散点图100090080070060050040030020010000200004000060000总人口数x480000100000120000财政收入y

图4 y对x4的散点图

财政收入对就业人口的散点图1000900800700600500400300200100001000020000300004000050000就业人口x5财政收入y600007000080000

图5 y对x5的散点图

财政收入对固定资产投资的散点图100090080070060050040030020010000100200300固定资产投资x6财政收入y400500600

图6 y对x6的散点图

从图可以看出随着x1，x2，x3，x4，x5，x6的增加，y的值都是有比较明显的线性增长趋势，各图中的直线用线性模型y??0??ixi??（i=1,2,3,4,5,6）所以建立如下的回归模

第 19 页 共 23 页

型：

y??0??1x1??2x2??3x3??4x4??5x5??6x6?? （1）

其中?为其他因素产生的随机误差。

模型求解 用matlab求解，得预测值：

???86.9829?0.0732x1?0.0074x2?0.1233x3?0.0044x4?0.0008x5?0.8174x6y由运算结果可以看出R2=0.98349指因变量y的98.349%，指因变量y的98.349%可由模型确定，p?0小于?，因而模型从整体来看是可用的。

模型应用 将回归系数的估计值代入模型（1），不考虑其他因素，只要知道x1，x2，

? x3，x4，x5，x6，即可预测财政收入y，预测值记作y???86.9829?0.0732x1?0.0074x2?0.1233x3?0.0044x4?0.0008x5?0.8174x6 y

附：

求解过程

在matlab窗口输入：

>> x1=[598 586 707 737 825 837 1021 114 1079 757 677 779 943 1152 1322 1249 1187 1372 1638 1780 1833 1978 1993 2121 2052 2189 2475 2702 2791 2927];

>> x2=[349 455 520 558 715 798 1235 1681 1870 1156 964 1046 1250 1581 1911 1647 1565 2101 2747 3156 3365 3684 3696 4254 4309 4925 5590 6065 6592 6862];

>> x3=[461 475 491 529 556 575 598 509 444 434 461 514 584 632 687 697 680 688 767 790 789 855 891 932 955 971 1058 1150 1194 1273];

>> x4=[57482 58796 60266 61465 62828 64653 65994 67207 66207 65859 67295 69172 70499 72538 74542 76368 78534 80671 82992 85229 87177 89211 90859 92421 93717 94974 96259 97542 98705 100072];

>> x5=[20729 21364 21832 22328 23018 23711 26600 26173 25880 25590 25110 26640 27736 28670 29805 30814 31915 33225 34432 35620 35854 36652 37369 38168 38834 39377 39856 40581 41896 73280];

>> x6=[44 89 97 98 150 139 256 338 380 138 66 85 129 175 212 156 127 207 312 355 354 374 393 462 443 454 550 564 568 496];

>> y=[184 216 248 254 268 286 357 444 506 271 230 266 323 393 466 352 303 447 564 638 658 691 655 692 657 723 922 890 826 810];

>> A=[598 586 707 737 825 837 1021 114 1079 757 677 779 943 1152 1322 1249 1187 1372 1638 1780 1833 1978 1993 2121 2052 2189 2475 2702 2791 2927]

>> C=[598 586 707 737 825 837 1021 114 1079 757 677 779 943 1152 1322 1249 1187 1372 1638 1780 1833 1978 1993 2121 2052 2189 2475 2702 2791 2927; 349 455 520 558 715 798 1235 1681 1870 1156 964 1046 1250 1581 1911 1647 1565 2101 2747 3156 3365 3684 3696 4254 4309 4925 5590 6065 6592 6862;461 475 491 529 556 575 598 509 444 434 461 514 584 632 687 697 680 688 767 790 789 855 891 932 955 971 1058 1150 1194 1273;57482 58796 60266 61465 62828 64653 65994 67207 66207 65859 67295 69172 70499 72538 74542 76368

第 20 页 共 23 页

78534 80671 82992 85229 87177 89211 90859 92421 93717 94974 96259 97542 98705 100072;20729 21364 21832 22328 23018 23711 26600 26173 25880 25590 25110 26640 27736 28670 29805 30814 31915 33225 34432 35620 35854 36652 37369 38168 38834 39377 39856 40581 41896 73280;44 89 97 98 150 139 256 338 380 138 66 85 129 175 212 156 127 207 312 355 354 374 393 462 443 454 550 564 568 496]; >> e=ones(30,1); >> Z=[e,C'];

>> [b,bint,r,rint,stats]=regress(y',Z) b =

-86.9829 0.0732 0.0074 -0.1233 0.0044 -0.0008 0.8174 bint =

-332.0630 158.0973 -0.0162 0.1626 -0.0466 0.0614 -0.4470 0.2005 0.0004 0.0083 -0.0041 0.0026 0.5167 1.1181 r =

10.4430 2.2281 14.2656 16.8005 -21.4025 -0.9993 -43.1645 23.2962 -24.9329 -33.2004 -11.3705 0.5311

第 21 页 共 23 页

11.7218 24.1013 50.8669 -16.0274 -46.8878 6.8636 14.3080 33.7117 40.6558 44.1977 -10.7273 -44.7873 -61.9289 -22.6155 77.5344 20.2480 -56.0968 2.3673 rint =

-60.0675 80.9536 -71.1779 75.6341 -59.4921 88.0234 -56.3868 89.9879 -93.1265 50.3215 -74.4260 72.4274 -108.0176 21.6887 7.7978 38.7946 -67.0648 17.1991 -98.7363 32.3355 -77.6483 54.9073 -71.5707 72.6329 -64.2435 87.6871 -52.1057 100.3083 -22.4012 124.1351 -89.5209 57.4660 -114.4584 20.6828 -67.0859 80.8131 -60.7030 89.3190 -39.6801 107.1034 -31.2437 112.5553 -28.4188 116.8141

第 22 页 共 23 页

-84.2983 62.8438 -116.1476 26.5729 -130.3522 6.4943 -94.9048 49.6738 14.2326 140.8362 -46.2712 86.7672 -110.0667 -2.1269 -3.8454 8.5801 stats =

1.0e+003 *

0.0010 0.1705 0 1.3963

>> format short g;stats

stats =

0.98349 228.29 0 1048.8

第 23 页 共 23 页

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