2017-2018学年八年级上册数学第一次月考试题

2017八年级上册数学第一次月考试题

一．选择题（3*10+2*6=42分）

1．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ） A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0

2．如图，△ABC中BC边上的高是（ ）A．BD

B．AE C．BE D．CF

3．如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ） A．70°

B．44°

C．34°

D．24°

4．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）A．180°

B．210° C．360° D．270°

5．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A=50°，那么∠1+∠2的大小为（ ） A．130° B．180° C．230° D．260°

6．如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是（ ）

A．∠ABE B．∠BAD C．∠DAC D．∠C

7．如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（ ） A．4

B．5

C．6

D．7

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）A．15

B．30 C．45 D．60

9．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是（ ）A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（ ）A．48

B．50 C．54 D．60

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11．如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（ ） A．19.2° B．8° C．6° D．3°

12．如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（ ）A．30° B．45°

C．55°

D．60°

13．如图所示，两个完全相同的含30°角的Rt△ABC和Rt△AED叠放在一起，BC交DE于点O，AB交DE于点G，BC交AE于点F，且∠DAB=30°，以下三个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG=BG．其中正确的个数为（ ）A．1 B．2

14．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（ ） A．1

B．2

C．5

D．无法确定

C．3

D．4

15．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是（ ） （1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE；（5）AB∥CD． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

16．如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（ ） A．330° B．315° C．310° D．320°

二．填空题（共4小题，12分）

17．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2等于 度．

18．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为 ．

19．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1、P2、P3、P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有 个．

20．如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 ，使得△ABC≌△DEF．

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三．解答题（共6小题，66分）

21．如图是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°．若将其右下角向内折出一∠PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图所示，求∠C的度数．（9分）

22．如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC=54°，∠C=66°，求∠DAC、∠BOA的度数（10分）．

23．已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD．（10分）

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24．阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE． 证明：在△AEB和△AEC中， ∵EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE， ∴△AEB≌△AEC?第一步 ∴∠BAE=∠CAE?第二步

问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．（11分）

25．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：（12分）

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系 ；

（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，利用（1）的结论，试求∠P的度数；

（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．

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26、（1）把一大一小两个等腰直角三角板（即EC=CD,AC=BC）如图1放置，点D在BC上，连结BE，

AD，AD的延长线交BE于点F． 求证：（1）ΔACD≌ΔBCE （2）AF⊥BE． （7分） B

F

D

A E C

（2）把左边的小三角板逆时针旋转一定的角度如图2放置，问AF与BE是否垂直？并说明理由． （7分）

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图 1

BDFCAE图2

2017八年级上册数学第一次月考试题

参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题，满分80分，每小题5分）

1．（5分）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（ ） A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0

【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．

【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长， ∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b） =a+b﹣c+c﹣a﹣b=0． 故选D．

【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．

2．（5分）如图，△ABC中BC边上的高是（ ）

A．BD B．AE C．BE D．CF

【分析】根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．

【解答】解：由图可知，△ABC中BC边上的高是AE． 故选B．

【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的

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关键．

3．（5分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（ ）

A．70° B．44° C．34° D．24°

【分析】由AB=BD，∠B=40°得到∠ADB=70°，再根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB=BD，∠B=40°， ∴∠ADB=70°， ∵∠C=36°，

∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°． 故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形外角性质的应用．

4．（5分）小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C=∠F=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ ）

A．180° B．210° C．360° D．270°

【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可． 【解答】解：∠α=∠1+∠D， ∠β=∠4+∠F，

∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F =∠2+∠D+∠3+∠F =∠2+∠3+30°+90° =210°，

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故选：B．

【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

5．（5分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A=50°，那么∠1+∠2的大小为（ ）

A．130° B．180° C．230° D．260°

【分析】根据三角形的外角性质可得∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED，再根据已知和三角形内角和等于180°即可求解．

【解答】解：∵∠1=∠A+∠ADE，∠2=∠A+∠AED， ∴∠1+∠2

=∠A+∠ADE+∠A+∠AED =∠A+（∠ADE+∠A+∠AED） =50°+180° =230°． 故选：C．

【点评】考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°．

6．（5分）如图，AD，BE都是△ABC的高，则与∠CBE一定相等的角是（ ）

A．∠ABE B．∠BAD C．∠DAC D．∠C

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【分析】根据三角形的内角和定理即可证得．

【解答】解：在△BEC和△ADC中，∠C是公共角，∠ADC=∠BEC=90°， 所以∠CBE=∠DAC． 故选C．

【点评】此题属于基础题，较简单，主要记住三角形的内角和等于180°．

7．（5分）如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是（ ） A．4

B．5

C．6

D．7

【分析】设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案．

【解答】解：设外角为x，则相邻的内角为2x， 由题意得，2x+x=180°， 解得，x=60°， 360÷60°=6， 故选：C．

【点评】本题考查的是多边形内、外角的知识，理解一个多边形的一个内角与它相邻外角互补是解题的关键．

8．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）

A．15 B．30 C．45 D．60

【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E， 又∵∠C=90°， ∴DE=CD，

∴△ABD的面积=AB?DE=×15×4=30．

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故选B．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．

9．（5分）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数是（ ）

A．15° B．20° C．25° D．30°

【分析】根据全等三角形的性质得到AB=BE=EC，∠ABC=∠DBE=∠C，根据直角三角形的判定得到∠A=90°，计算即可．

【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC， ∴AB=BE=EC，∠ABD=∠DBE=∠C， ∴∠A=90°， ∴∠C=30°， 故选：D．

【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．

10．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（ ）

A．48 B．50 C．54 D．60

【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质求出DE，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：作DE⊥AB于E，

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∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=CD=4，

∴△ABC的面积为：×AC×DC+×AB×DE=54， 故选：C．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

11．（5分）如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（ ）

A．19.2° B．8° C．6° D．3°

【分析】利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质计算． 【解答】解：∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD，2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC， 所以2（∠BA1C+∠A1BC）=∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC+∠ABC 而2∠A1BC=∠ABC， 所以2∠BA1C=∠BAC．

同理，可得2∠BA2C=∠BA1C，2∠BA3C=∠BA2C，2∠BA4C=∠BA3C，2∠BA5C=∠BA4C， 所以∠BA5C=∠BA4C=∠BA3C=∠BA2C=故选D．

【点评】此题主要考查角平分线的定义和三角形内角与外角的性质，有点难度．

12．（5分）如图，∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上运动，BE平分∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C，则∠C的度数是（ ）

∠BA1C=

∠BAC=96°÷32=3°．

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A．30° B．45° C．55° D．60°

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式求出∠ABN，再根据角平分线的定义求出∠ABE和∠BAC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．

【解答】解：根据三角形的外角性质，可得∠ABN=∠AOB+∠BAO， ∵BE平分∠NBA，AC平分∠BAO， ∴∠ABE=∠ABN，∠BAC=∠BAO，

∴∠C=∠ABE﹣∠BAC=（∠AOB+∠BAO）﹣∠BAO=∠AOB， ∵∠MON=90°， ∴∠AOB=90°， ∴∠C=×90°=45°． 故选（B）

【点评】本题怎样考查了三角形外角的性质，以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

13．（5分）如图所示，两个完全相同的含30°角的Rt△ABC和Rt△AED叠放在一起，BC交DE于点O，AB交DE于点G，BC交AE于点F，且∠DAB=30°，以下三个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG=BG．其中正确的个数为（ ）

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A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】①根据已知得出∠CAF=30°，∠GAF=60°，进而得出∠AFB的度数； ②利用ASA证明△ADG≌△ACF得出答案；

③利用△AGO≌△AFO，得出AO=CO=AC，进而得出BO=CO=AO，即O为BC的中点；

④在Rt△AGE中，由∠AGE=90°，∠E=30°，推出AG=AE，又AB=AE，可得AG=AB解决问题． 【解答】解：∵两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°． ∴∠CAF=30°， ∴∠GAF=60°， ∴∠AFB=90°，

∴AF丄BC正确，故①正确，

∵AD=AC，∠DAG=∠CAF，∠D=∠C=60°， ∴△ADG≌△ACF正确，故②正确， ∵△ADG≌△ACF， ∴AG=AF， ∵AO=AO，

∠AGO=∠AFO=90°， ∴△AGO≌△AFO， ∴∠OAF=30°， ∴∠OAC=60°， ∴AO=CO=AC，

∴BO=CO=AO，故③正确，

在Rt△AGE中，∵∠AGE=90°，∠E=30°， ∴AG=AE， ∵AB=AE， ∴AG=AB，

∴AG=GB，故④正确．

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故选D．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形中30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

14．（5分）已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（ ）

A．1 B．2 C．5 D．无法确定

【分析】因为知道AD的长，所以只要求出AD边上的高，就可以求出△ADE的面积．过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，构造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的长，即为EF的长，然后利用三角形的面积公式解答即可．

【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F， ∵∠EDF+∠FDC=90°， ∠GDC+∠FDC=90°， ∴∠EDF=∠GDC，

于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，

，

∴△DEF≌△DCG，

∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，

所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1． 故选A．

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【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目需要作辅助线构造直角三角形，利用全等三角形和面积公式来解答．对同学们的创造性思维能力要求较高，是一道好题．

15．（5分）在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有几个，大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是（ ）

（1）AE平分∠DAB； （2）△EBA≌△DCE； （3）AB+CD=AD； （4）AE⊥DE； （5）AB∥CD．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】此题可以通过作辅助线来得解，取AD的中点F，连接EF．根据平行线的性质可证得（1）（4）（5），根据梯形中位线定理可证得（3）正确．根据全等三角形全等的判定可证得（2）的正误，即可得解．

【解答】解：如图：取AD的中点F，连接EF． ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD；[结论（5）]

∵E是BC的中点，F是AD的中点，

∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位线定理）①； ∴∠CDE=∠DEF（两直线平等，内错角相等）， ∵DE平分∠ADC， ∴∠CDE=∠FDE=∠DEF， ∴DF=EF；

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∵F是AD的中点，∴DF=AF， ∴AF=DF=EF②，

由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[结论（3）] 由②得∠FAE=∠FEA，

由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，

∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[结论（1）]

由结论（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，则∠DEA=90°，即AE⊥DE；[结论（4）]．

由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明△EBA≌△DCE． 正确的结论有4个，故选D．

【点评】本题考查了平行线的判定及性质、梯形中位线定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，是一道难度较大的综合题型．

16．（5分）如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（ ）

A．330° B．315° C．310° D．320°

【分析】利用正方形的性质，分别求出多组三角形全等，如∠1和∠7的余角所在的三角形全等，得到∠1+∠7=90°等，可得所求结论．

【解答】解：由图中可知：①∠4=×90°=45°，②∠1和∠7的余角所在的三角形全等 ∴∠1+∠7=90°

同理∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°∠4=45°

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90°+45°=315° 故选B．

【点评】考查了全等三角形的性质与判定；做题时主要利用全等三角形的对应角相等，得到几对角的和的关系，认真观察图形，找到其中的特点是比较关键的．

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二．填空题（共4小题）

17．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B，C分别在直线n，m上，且∠ACB=90°，若∠1=40°，则∠2等于 130 度．

【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由∠ACB=90°得出∠4的度数，根据补角的定义即可得出结论．

【解答】解：∵m∥n，∠1=40°， ∴∠3=∠1=40°． ∵∠ACB=90°，

∴∠4=∠ACB﹣∠3=90°﹣40°=50°， ∴∠2=180°﹣∠4=180°﹣50°=130°． 故答案为：130．

【点评】本题考查的是三角形的内角和，平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．

18．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为 5或6或7 ．

【分析】首先求得内角和为720°的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1，即可确定原多边形的边数．

【解答】解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）?180=720， 解得：n=6．

∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， ∴原多边形的边数为5或6或7． 故答案为：5或6或7．

【点评】本题考查了多边形的内角和定理，解题时注意：一个多边形截去一个角后它的边数可能

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增加1，可能减少1，或不变．

19．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1、P2、P3、P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有 2 个．

【分析】根据全等三角形的对应边相等判断即可． 【解答】解：如图，△ABP1≌△ABC， △BAP2≌△ABC，

则符合条件的点P有2个， 故答案为：2．

【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．

20．如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件 AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可） ，使得△ABC≌△DEF．

【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题． 【解答】解：∵BC∥EF， ∴∠ABC=∠E，

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∵AC∥DF， ∴∠A=∠EDF，

∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF，

同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．

故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

三．解答题（共5小题）

21．如图是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°．若将其右下角向内折出一∠PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图所示，求∠C的度数．

，

【分析】根据平行线的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：记两条虚线的交点为E ∵CR∥AD，∠D=50°

∴∠D=∠CRE（两直线平行，同位角相等）， ∵CP∥AB，∠B=120°，

∴∠B=∠CPE（两直线平行，同位角相等）， ∵右图是由左图折叠而成的，

∴∠CPR=∠RPE=60°，∠CRP=∠PRE=25°， ∵三角形内角和是180°， ∴∠C=95°．

【点评】本题考查的是三角形的外角的概念、三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°、平行线的性质是解题的关键．

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22．如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC=54°，∠C=66°，求∠DAC、∠BOA的度数．

【分析】首先利用AD是高，求得∠ADC，进一步求得∠DAC度数可求；利用三角形的内角和求得∠ABC，再由BF是∠ABC的角平分线，求得∠ABO，故∠BOA的度数可求． 【解答】解：∵AD是高， ∴∠ADC=90°， ∵∠C=66°，

∴∠DAC=180°﹣90°﹣66°=24°，

∵∠BAC=54°，∠C=66°，AE是角平分线， ∴∠BAO=27°，∠ABC=60°， ∵BF是∠ABC的角平分线， ∴∠ABO=30°，

∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=123°．

【点评】本题考查了利用角平分线的性质、三角形的内角和定理解决问题的能力，结合图形，灵活运用定理解决问题．

23．已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE=CD．

【分析】由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD=AE，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果． 【解答】证明：∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC，

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∵点D、E分别是AB、AC的中点． ∴AD=AE，

在△ABE与△ACD中，

，

∴△ABE≌△ACD， ∴BE=CD．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键．

24．阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE． 证明：在△AEB和△AEC中， ∵EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE， ∴△AEB≌△AEC…第一步 ∴∠BAE=∠CAE…第二步

问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．

【分析】上面证明过程不正确，因为没有正确理解全等三角形的判定方法，SAS指的是两边一角且角为这两边的夹角，所以上面证明过程不正确．这就要求我们要真正理解且正确运用全等三角形的判定方法．

【解答】解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下： 在△BEC中， ∵BE=CE ∴∠EBC=∠ECB 又∵∠ABE=∠ACE ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC．

在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC

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∴△AEB≌△AEC（SSS） ∴∠BAE=∠CAE．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

25．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系 ∠A+∠D=∠C+∠B； ； （2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，利用（1）的结论，试求∠P的度数；

（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．

【分析】（1）∠A、∠B、∠C、∠D所在的两个三角形中，有一对对顶角相等，根据三角形的内角和定理得出数量关系；

（2）先根据“8字形”中的角的规律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②，可得2∠P=∠D+∠B，进而求出∠P的度数；

（3）根据（2）中的方法，即可求得∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系．

【解答】解：（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论：∠A+∠D=∠C+∠B； 故答案为：∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）由（1）可知，∠1+∠D=∠P+∠3，① ∠4+∠B=∠2+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，

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由①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P， 即2∠P=∠D+∠B， 又∵∠D=40°，∠B=36°， ∴2∠P=40°+36°=76°， ∴∠P=38°；

（3）∠P与∠D、∠B之间存在的关系为2∠P=∠D+∠B． ∵∠1+∠D=∠P+∠3，① ∠4+∠B=∠2+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，

由①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P， 即2∠P=∠D+∠B．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，以及角平分线的定义，考核了学生的阅读理解与知识的迁移能力．解决问题的关键是根据三角形内角和定理得出“8字形”中的角的规律，以及直接运用“8字形”中的角的规律解题．

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