高考数学求递推数列通项公式的十种策略例析(全面)

递推数列通项公式的探求例析

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。 一、利用公式法求通项公式

例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得

an?12n?1?an2n?a?1an33，则n?n?， n?12222故数列{aanan233为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，?1?(n?1)}是以1??1n12n2222231所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2n。

22评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为列，再直接利用等差数列的通项公式求出二、利用累加法求通项公式

例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。

解：由an?1?an?2n?1 得an?1?an?2n?1则an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1

an?12n?1?an2n?a3，说明数列{n}是等差数n22an2n?1?(n?1)3，进而求出数列{an}的通项公式。 2?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1 (n?1)n?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1?2??(n?1)?12所以数列{an}的通项公式为an?n2

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求出

(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。

例3 已知数列{an}满足an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。

1

解：由an?1?an?2?3n?1得an?1?an?2?3n?1则an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1

?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33?3n所以an?2??n?2?3n?n?1

1?3评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3n?1转化为an?1?an?2?3n?1，进而求出

(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。

例4 已知数列{an}满足an?1?3an?2?3n?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?3an?2?3n?1两边除以3n?1，得

an?13n?1?an3n?an?1an2211， ?n?1，则n????1nn?1333333故

an3n?(an3n?an?1aan?2an?2an?3a2a1a1 )?(n?1?n)?(?)???(?)??2n?2n?321an?1an?13333332121212132(n?1)11111?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)???(n?n?n?1?n?2???2)?1 3333333333333331n?1?(1?3)an2(n?1)3n21n12n11n因此n?，则a??n?3??3? ??1???nn32231?3322?33评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3n?1转化为

an?1(an3n?an?13)?(n?1an?13n?1?an?23)?(n?2an?23n?23n?13nan?3a2a1a1an+…+，即得数列?n)(?)?{}的通项公式，最后再求数列?321n33333?an?21?n?1，进而求出33{an}的通项公式。

三、利用累乘法求通项公式

例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。

解：因为an?1?2(n?1)5n?an，a1?3，所以an?0，则

an?1?2(n?1)5n， an则an?anan?1?an?1an?2???a3a2?a2a1?a1?[2(n?1?1)5n?1]?[2(n?2?1)5n?2]?[2?(2?1)?52]?[2?(1?1)?51]?3

?2n?1?[n?(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3

n(n?1)?52所以数列{an}的通项公式为an?3?2

n?1?n!

2

评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5n?an转化为

an?1?2(n?1)5n，进而求出anaaanan?1????3?2?a1，即得数列{an}的通项公式。 an?1an?2a2a1例6 已知数列{an}满足a1?1，an?a1?2a2?3a3???(n?1)?(n?1)an?1(n?2)，则{an}的通项

?1，n?1? an??n!，n?2??2解：因为an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2) 所以an?1?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1?nan

①

②

所以②式－①式得an?1?an?nan则an?1?(n?1)an(n?2)则

an?1?n?1(n?2) an所以an?aanan?1n!????3?a2?[n(n?1)???4?3]?a2??a2 an?1an?2a22③

由an?a1?2a2?3a3???(n?1)an?1(n?2)，取n=2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5???n?n!。 2an?1?n?1（n≥2），进而求出an评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为

aanan?1????3?a2，从而可得当n≥2时an的表达式，最后再求出数列{an}的通项公式。 an?1an?2a2四、利用待定系数法求通项公式

例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5n，a1?6，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)

④

将an?1?2an?3?5n代入④式，得2an?3?5n?x?5n?1?2an?2x?5n，等式两边消去2an，得

3?5n?x?5n?1?2x?5n，两边除以5n，得3?x?5?2x，则x=－1，代入④式，得an?1?5n?1?2(an?5n) ⑤

3

由a1?5?6?5?1≠0及⑤式，得an?5?0，则

1nan?1?5n?1an?5n?2，则数列{an?5n}是以a1?51?1为

首项，以2为公比的等比数列，则an?5n?1?2n?1，故an?2n?1?5n。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5n转化为an?1?5n?1?2(an?5n)，从而可知数列

{an?5n}是等比数列，进而求出数列{an?5n}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

例8 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2n?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y) ⑥ 将an?1?3an?5?2n?4代入⑥式，得

3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)

整理得(5?2x)?2n?4?y?3x?2n?3y。

?5?2x?3x?x?5令?，则?，代入⑥式，得an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2) ?4?y?3y?y?2an?1?5?2n?1?2an?5?2?2n⑦

由a1?5?2?2?1?12?13?0及⑦式，得an?5?2?2?0，则

1n?3，

故数列{an?5?2n?2}是以a1?5?21?2?1?12?13为首项，以3为公比的等比数列，因此

an?5?2n?2?13?3n?1，则an?13?3n?1?5?2n?2。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?5?2n?4转化为an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)，从而可知数列{an?5?2n?2}是等比数列，进而求出数列{an?5?2n?2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。

例9 已知数列{an}满足an?1?2an?3?n2?4n?5，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：设an?1?x(n?1)2?y(n?1)?z?2(an?xn2?yn?z)

⑧

将an?1?2an?3?n2?4n?5代入⑧式，得2an?3?n2??4n?5?x(n?1)2?y(n?1)?z

?2(an?xn2?yn?z)，则2an?(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2an?2xn2?2yn?2z

4

等式两边消去2an，得(3?x)n2?(2x?y?4)n?(x?y?z?5)?2xn2?2yn?2z，

?3?x?2x?x?3??则得方程组?2x?y?4?2y，则?y?10，代入⑧式，得

?z?18?x?y?z?5?2z??an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18)

⑨

由a1?3?12?10?1?18?1?31?32?0及⑨式，得an?3n2?10n?18?0

则

an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18an?3n?10n?182?2，故数列

{an?3n2?1n?01}8为

以

a1?3?12?10?1?18?1?31?32为首项，以2为公比的等比数列，因此an?3n2?10n?18?32?2n?1，则an?2n?4?3n2?10n?18。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?n2?4n?5转化为

an?1?3(n?1)2?10(n?1)?18?2(an?3n2?10n?18)，从而可知数列{an?3n2?10n?18}是等比数列，

进而求出数列{an?3n2?10n?18}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 五、利用对数变换法求通项公式

例10 已知数列{an}满足an?1?2?3na5n，a1?7，求数列{an}的通项公式。

n5解：因为an?1?2?3na5n，a1?7，所以an?0，an?1?0。在an?1?2?3an式两边取常用对数得

lgan?1?5lgan?nlg3?lg2

⑩

11 设lgan?1?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y) ○

11式，得5lgan?nlg3?lg2?x(n?1)?y?5(lgan?xn?y)，两边消去5lgan并整理，得将⑩式代入○

(lg3?x)n?x?y?lg2?5xn?5y，则

?x???lg3?x?5x?，故???x?y?lg2?5y?y???11式，得lgan?1?代入○

lg34 lg3lg2?164lg3lg3lg2lg3lg3lg2(n?1)???5(lgan?n??) 416441645

12 ○

由lga1?lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg3lg3lg212式，得lgan??1???lg7??1???0及○n???0，

416441644164lgan?1?则

lg3lg3lg2(n?1)??4164?5， lg3lg3lg2lgan??n??4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2为首项，以5为公比的等比数列，则n??}是以lg7???41644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2n?1，因此lgan?n???(lg7???)541644164所以数列{lgan?lg3lg3lg2n?1lg3lg3lg2lgan?(lg7???)5?n??4164464n?lg34n?lg(34?(lg7?1?3161?241lg34?1lg36?1lg24)5n?11?lg3161?316n?11?lg241?[lg(7?341?3161?24)]5n?1n?lg(34)?5n?1?1?24)1lg(7?341?3161?24)5n?1则

1?24)5n?1?n?lg(75n?1?345n?1?1?245n?1?1?3165n?1?1?24)5n?4n?15n?1?lg(7?316，

an?755n?4n?1?316。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an?1?2?3na5n转化为

lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg3lg3lg2从而可知数列{lgan?n??}是(n?1)???5(lgan?n??)，

416441644164lg3lg3lg2等比数列，进而求出数列{lgan?n??}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

4164lgan?1?六、利用迭代法求通项公式

(n?1)2，a1?5，求数列{an}的通项公式。 例11 已知数列{an}满足an?1?a3nn(n?1)2n?2解：因为an?1?a3，所以an?a3n?1nnn?1(n?1)?2?[a3n?2n?2]3n?2n?1

?a?a32(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)n?2n?1?[a3(n?2)?2n?332(n?1)?n?2(n?2)?(n?1)n?3]?an(n?1)233(n?2)(n?1)n?2(n?3)?(n?2)?(n?1)n?3??

31?2?3??(n?2)?(n?1)?n?21?2????(n?3)?(n?2)?(n?1)?an?131n?1?n!?2n(n?1)又a1?5，所以数列{an}的通项公式为an?53?n!?22。

n(n?1)2评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式an?1?a3两边取常用n对数得

lgan?1?3(n?1)?2nlgan，即

lgan?1?3(n?1)?2nlgan，再由累乘法可推知

6

n?1lga3lga2lganlgan?1lgan???????lga1?lg53?n!?2lgan?1lgan?2lga2lga1n(n?1)2，从而an?53n?1?n!?2n(n?1)2

七、利用换元法求通项公式 例13 已知数列{an}满足an?1?解：令bn?1?24an，则an?1(1?4an?1?24an)，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1612121(bn?1?1)，代入an?1?(1?4an?1?24an)得 (bn?1)故an?1?241624121122(bn?1?1)?[1?4?(b2n?1)?bn]即4bn?1?(bn?3) 241624因为bn?1?24an?0，故bn?1?1?24an?1?0则2bn?1?bn?3，即bn?1?可化为bn?1?3?13bn?， 221(bn?3)， 21为公比的等比数列，因此22111?3，得an?()n?()n?。

342313bn?形式，22所以{bn?3}是以b1?3?1?24a1?3?1?24?1?3?2为首项，以

1111bn?3?2?()n?1?()n?2，则bn?()n?2+3，即1?24an?()n?22222评注：本题解题的关键是通过将1?24an的换元为bn，使得所给递推关系式转化bn?1?从而可知数列{bn?3}为等比数列，进而求出数列{bn?3}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。 八、利用不动点法求通项公式 例14 已知数列{an}满足an?1?21an?24，a1?4，求数列{an}的通项公式。

4an?1解：令x?21x?2421x?24，得4x2?20x?24?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?的两个不动点。因

4x?14x?121an?24?2an?1?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613a?2a?2为。n，所以数列{n????}是以

an?3an?3an?1?321an?2421an?24?3(4an?1)9an?279?34an?1a1?24?2a?21313??2为首项，以为公比的等比数列，故n?2()n?1，则an?a1?34?3an?3991132()n?1?19?3。

评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)?进而可推出x1?2，x2?3，

21x?2421x?24的不动点，即方程x?的两个根

4x?14x?1an?1?213an?2a?2a?2，从而可知数列{n再求出数列{n??}为等比数列，}an?1?39an?3an?3an?37

的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。

例15 已知数列{an}满足an?1?7an?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。

2an?3解：令x?7x?23x?1，得2x2?4x?2?0，则x=1是函数f(x)?的不动点。 2x?34x?77an?25a?5，所以 ?1?n2an?32an?3因为an?1?1?352an?3212?2(1?2)?1?2，所以数列{1}是以1?1?1为首???an?1?15an?55an?15an?1a1?12?1an?1an?15an?项，以

1222n?8为公差的等差数列，则。 ?1?(n?1)?，故an?an?1552n?3评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)?3x?17x?2的不动点，即方程x?的根x?1，进而可推出

2x?34x?71an?1?1?1211?，从而可知数列{}为等差数列，再求出数列{}的通项公式，最后求出数列an?15an?1an?1{an}的通项公式。

九、利用特征根法求通项公式

例16 已知数列{an}满足an?1?3an?an?1(n?2)，a1?a2?1，求数列{an}的通项公式。

解：an?1?3an?an?1(n?2)的相应特征方程为?2?3??1?0，解之求特征根是

?1?3?53?53?53?5，所以an?c1?。 ，?2??c2?2222由初始值a1?a2?1，得方程组

?3?513?51)?c2()?1?c1(?22 ?3?523?52?1?c()?c()12?22??5?25?c1??5求得?

5?25?c?2?5?

8

从而an?5?253?5n5?253?5n()?()。 5252评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出c1，c2，从而可得数列{an}的通项公式。

9

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