用三种方式表示二次函数

《用三种方式表示二次函数》教学案

课 题 用三种方式表示二次函数 知识与技能 课 型 新授课 第1课时 1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题． 2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究． 3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点． 过程与方法 教学目标 1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力． 2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维． 情感态度与价值观 1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣． 2．初步学会从数学的角度提出问题、理解问题．并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识． 教学重点 能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题． 能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究． 能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题． 指导自主学习法 教学难点 教与学策略 投影片或小黑板四块 第一张：(记作§2．5A) 课前准备（教具、活动准备等） 第二张：(记作§2．5B) 第三张：(记作§2．5C) 第四张：(记作§2．5D) 教 学 过 程 设 教学步骤 教 师 活 动 学 生 活 动 计 意 图 1

Ⅰ．创[师]函数的三种表示方式，即表格、 设问题情表达式、图象法，我们都不陌生，比如在境，引入新商店的广告牌上这样写着：一种豆子的售课 价与购买数量之间的关系如下： x(千克) y(元) 0 1 2 3 4 5 6 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 这是售货员为了便于计价，常常制作这种表示售价与数量关系的表，即用表格表示函数．用表达式和图象法来表示函数的情形我们更熟悉．这节课我们不仅要掌握三种表示方式，而且要体会三种方式之间的联系与各自不同的特点，在什么情况下用哪一种方式更好？ Ⅱ．新课讲解 投影片：(§2、5A) 长方形的周长为20cm，设它的一边长为x cm，面积为y cm2．y随x变化而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式、表格和图象表示出来吗？ (1)用函数表达式表示：y＝________． (2)用表格表示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [生](1)一边长为x cm，则另一边长为(10－x)cm，所以面积为： y＝x(10－x)＝－x2＋10x． (2)表中第二行从左至右依次填9、8、7、6、5、4、3、2、1；第三行从左至右依次填9、16、21、24、25、24、21、16、9． (3)图象如下图． 一、试一试

10－x y (3)用图象表示： [师]请大家互相交流． 2

[师]大家可能注意到了函数的图象在第一象限，可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢？ [师]大家同意这种说法吗？ [生]因为自变量的取值只取到了1至9，而这些点正好都在第一象限，所以图象只能画在第一象限． [生]不同意．不是因为列表中[师]非常棒． 自变量的取值的原因，而是由于实际情况．函数值y是面积，而面积是不能为负值的．如果脱离了实际问题，单纯地画函数y＝－x2＋10x的图象，就不是在第一象限作图象投影片：(§2．5B) (1)在上述问题中，自变量x的取值范了． 围是什么？ (2)当x取何值时，长方形的面积最 [生](1)因为x是边长，所以x应取正数，即x＞0，又另一边长(10－x)也应大于0，即10－x＞0，所以x＜10，这两个条件应该同时满二、议一议 大？它的最大面积是多少？你是怎样得

到的？请你描述一下y随x的变化而变化的情况． [师]自变量x的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围．请大家互相交流． 3

足，所以x的取值范围是0＜x＜10． (2)当x取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所以要把二次函数y＝－x2＋10x化成顶点式．当x＝－b时，函数y有最大值y2a最大＝4ac?b2． 4a∴y＝－x2＋10x＝－(x2－10x) ＝－(x2－10x＋25－25) ＝－(x－5)2＋25． ∴当x＝5时，长方形的面积最大，最大面积是25cm2． 可以通过观察图象得知． 也可以代入顶点坐标公式中求得． 当x＝－10＝5时， 2?(?1)[师]回答得棒极了． 这是一个实际问题，面积y为边长x的二次函数，求当x取何值时，长方形的面积最大．实际上就是求二次函数的最值，描述y随x的变化而变化的情况，就是以对称轴为分界线，一边为y随x的增大而减小，另一边是y随x的增大而增大． y最4?(?1)?0?102＝大＝4?(?1)25cm2． 当x由1至5逐渐增大时，y三、做一做 投影片：(§2．5C) 两个数相差2，设其中较大的一个数为x，那么它们的积y是如何随x的变化而变化的？你能分别用函数表示式、表格和图象表示这种变化吗？ 1．用函数表达式表示：y＝4 的值逐渐增大，当x由5至10逐渐增大时，y的值逐渐减小． ________． 2．用表格表示： x y [生]解：1．因为较大的一个数为x，那么较小的数为(x－2)，则积y＝x(x－2)＝x2－2x，所以函数的表达式为y＝x2－2x． 2． x －3 y 15 －2 8 －1 3 0 －1 0 3 8 15 0 1 2 3 4 5 四、议一议 3．用图象表示： 4．根据以上三种表示方式回答下列问题： (1)自变量x的取值范围是什么？ (2)图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？ (3)如何描述y随x的变化而变化的情况？ (4)你是分别通过哪种表示方式回答上面三个问题的？ [师]请大家互相交流． 二次函数的三种表示方式有什么特点？它们之间有什么联系？与同伴进行交流． 3．图象如下图． [师]很好．下面我们来更系统地学习4．(1)因为数可以是正数、负数和零，所以x的取值范围为任何实数． (2)y＝x2－2x＝(x2－2x＋1)－它们各自的特点及联系． 投影片：(§2．3D) 函数的表格表示可以清楚、直接地表2示出变量之间的数值对应关系；函数的图1＝(x－1)－1． 象表示可以直观地表示出函数的变化过因此图象的对称轴为x＝1，程和变化趋势；函数的表达式可以比较全顶点坐标为(1，－1)． 面、完整、简洁地表示出变量之间的关(3)因为开口向上，对称轴x系．这三种表示方式各自有各自的优点，＝1，所以在对称轴左侧，即x＜1它们服务于不同的需要． 5 时，y的值随x值的增大而减小；在对称轴右侧，即x＞1时，y的

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