博弈论第三章习题(2)

1112*2*??(a?c),?2?(a?c),?3?(a?c)2

123636问题8：考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1和企业2目前情况下的生产成本都是c?2。企业1可以引进一项新技术使单位成本降低到c?1，该项技术需要投资f。在企业1作出是否投资的决策（企业2可以观察到）后，两个企业同时选择产量。假设市场需求函数为p(q)?14?q，其中p是市场价格，问上述投资额fq是两个企业的总产量。处于什么水平时，企业1会选择引进新技术？

*1解：以未引进技术为基准

?1?(14?q1?q2)q1?2q1??1??2，令??0，得

?2?(14?q1?q2)q2?2q2?q1?q2q1?q2?4,??1??2?16

?1?(14?q1?q2)q1?q1?f如果引进技术，

?2?(14?q1?q2)q2?2q21411196??1??2?f 令??0，得q1?,q2?,??1???q1?q2339只有引进技术后得到的利润大于未引进技术的总利润时，即

19619652?f?16，即f??16?时企业1才会引进新技999术。

问题9：如果学生在考试之前全面复习，考好的概率为90%，如果学生只复习一部分重点，则有50%的概率考好。全面复习花费的时间t1?100小时，重点复习只需要花费t2?20小时。学生的效用函数为：U?W?2e，其中W是考试成绩，有高低两种分数Wh和Wl，e为努力学习的时间。问老师如何才能促使学生全面复习？

解：学生全面复习的期望得益

u1?0.9?(wh?200)?0.1?(wl?200)?0.9wh?0.1wl?200

学生重点复习的期望得益

u2?0.5?(wh?40)?0.5?(wl?40)?0.5wh?0.5wl?40

根据激励相容的条件，u1?u2，所以有

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0.9wh?0.1wl?200?0.5wh?0.5wl?40 所以：0.4(wh?wl)?160

故：wh?wl?400

奖学金与学习成绩全面挂钩，才能激励学生的学习；单靠成绩没有这么大的力度。 学生 全面 成绩 高分0.9 低分0.1 重点 成绩 高分0.5 低分0.5 Wh-200 Wl-200 Wh-40 Wl-40 问题10：某人正在打一场官司，不请律师肯定会输，请律师后的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作（100小时）时有50%的概率能赢，律师不努力工作（10小时）则只有15%的概率能赢。如果诉讼获胜可得到250万元赔偿，失败则没有赔偿。因为委托方无法监督律师的工作，因此双方约定根据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的10%，失败则律师一分钱也得不到。如果律师的效用函数为.m?0.05e，其中m是报酬，e是努力小时数，且律师有机会成本5万元。求这个博弈的均衡。

解：第三阶段，律师

努力的期望得益：0.5?20?0.5?5?7.5

不努力的期望得益：0.15?24.5?0.85?0.5?3.25 满足激励相容约束

第二阶段：7.5?3.25&7.5?5 接受委托并努力工作

第一阶段：委托，接受委托，代理人努力工作，那么 0.5?225?0.5?0?112.5?0 委托是必然的选择。

打官司的人提出委托，律师接受委托并努力工作。

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1 委托 不委托

2 （0，5）

拒绝 接受 1 （0，5）

不努力 努力 0 0 输0.5 赢0.15 输0.85 赢0.5 （225，20）

（0，-5） （225，24.5） （0，-0.5）

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