博弈论第三章习题

问题1：如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能肯定，即下图中a、b数值不确定。试讨论本博弈有哪几种可能的结果。如果本博弈中的“威胁”和“承诺”是可信的，a或b应满足什么条件？

乙 借 甲 分 不分 乙 不打 （2，2） 打 不借 （1，0） ①a?0，不借—不分—不打；

②0?a?1，且b?2，借—不分—打； ③a?1，且b?2，借—不分—打(a,b)； ④a?0，且b?2，借—分—（2，2）

问题2：三寡头市场需求函数P?100?Q，其中Q是三

个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本2而无固定成本。如果厂商1和厂商2同时决定产量，厂商3根据厂商1和厂商2的产量决策，问它们各自的产量和利润是多少？

?1?(100?q1?q2?q3)q1?2q1?(98?q1?q2?q3)q1 ?2?(100?q1?q2?q3)q2?2q2?(98?q1?q2?q3)q2 ?3?(100?q1?q2?q3)q3?2q3?(98?q1?q2?q3)q3 ??3?0,?q3?(98?q1?q2)/2 ?q3（a，b）

（0，4）

代入，?1?(98?q1?q2)q1/2,?2?(98?q1?q2)q2/2

??1??2***?q2?98/3,q3?49/3 ?0,?0，得q1?q1?q2

1

**?1*??2?4802/9,?3?2401/9。

问题3：设两个博弈方之间的三阶段动态博弈如下图所示。

（1）若a和b分别等于100和150，该博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？

（2）L?N?T是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什均衡路径，为什么？

（3）在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的得益？

1 L 2 M N 1 T 200，200 S R 300，0 （a，b）

50，300

（1）博弈方1在第一阶段选择R，在第三阶段选择S，

博弈方2在第二阶段选择M。

（2）不可能。L?N?T带来的利益50明显小于博弈方1在第一阶段R的得益300；无论a和b是什么数值，该

路径都不能构成Nash均衡，不能成为子博弈完美Nash均衡。

（3）由于L?N?T不是本博弈的子博弈完美Nash均衡，因此博弈方2不可能通过该路径实现300单位的得益，唯一有可能实现300单位及以上的得益的路径为L?N?S，要使该路径成为子博弈完美Nash均衡而且博弈方2得到300单位及以上的得益必须a?300,b?300。

问题4：企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产品

2

选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择，而且这一点双方都清楚。

（1）用扩展型表示这一博弈。

（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？ 企业乙 高档 低档 企业甲 高档 500，500 1000，700 低档 700，1000 600，600 扩展型表示的博弈 甲 高 乙 高 低 高 （700，1000） 低 乙 低 （500，500） （1000，700） （600，600） 若甲选择高档，乙选择低档，甲得1000元，乙得700元；

若甲选择低档，乙选择高档，那么甲得700元，乙得1000元，

所以：甲的策略为：选择生产高档产品；

乙的策略是：若甲选择高档，乙选择低档；若甲选择低档，乙选择高档。

本博弈的子博弈Nash均衡是：甲选择生产高档彩电，乙选择生产低档彩电。

问题5：乙向甲索要1000元，并且威胁甲如果不给就与他同归于尽。当然甲不一定相信乙的威胁。请用扩展型表示该博弈，并找出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。

两个纯策略Nash均衡：（给，实施），（不给，不实施） 实施的威胁不可信，甲在第一阶段选择不给，乙在第二阶段不实施（生命诚可贵）；这是子博弈完美纳什均衡；另一个（给，实施）不可信。

3

甲 不给 乙 实施 不实施 （0，0） 给 （-1000，1000）

（-∞，-∞） 问题6：两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润

（p?aq?c)2?q，企业2的利润函数是函数是?1???2??（q?b)2?p，其中p是企业1的价格，q是企业2的

价格。求：

（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡； （2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡； （3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；

（4）是否存在参数a,b,c的特定值或范围，使两个企业都希望自己先决策？

??1??2(p?aq?c)?0?p解：（1），解得：p?ab?c,q?c

??2??2(q?b)?0?q?1?b,?2?ab?c

??2（2）??2(q?b)?0，代入得到

?q???1??（p?ab?c)2?b，1??（2p?ab?c)?0，得

?pp?ab?c，企业1的子博弈完美纳什均衡企业1的定价p?ab?c，企业2的定价q?b，利润也与（1）相同。与同时

选择无异。

（3）将p?aq?c代入

?2??（q?b)2?p??（q?b)2?aq?c

4

a??2??（2q?b)?a?0，解得q??b，代入得

2?qa2p??ab?c

22aa*?1*??b?b，?2??ab?c?ab?c

24（4）只有先决策的利润大于后决策时的利润时才有激

a2励。①当?ab?c?ab?c?a?0，企业2希望先决策；

4a②当b??b时，企业1希望先决策，只要a?0都希望自

2己先决策。

aa2b?0,?b?0,ab?c?0,?ab?c?0，因此当

24aa?0,b??和c?ab时都能满足，这样才参数范围都希望

2自己先决策。

问题7：三寡头市场有倒转的需求函数为P(Q)?a?Q，其中Q?q1?q2?q3，qi是厂商i的产量。每一个厂商生产的边际成本为常数c，没有固定成本。如果厂商1先选择产量q1，厂商2和厂商3观察到q1后同时选择q2和q3，问它们各自的产量和利润是多少？

解：?i??(a?c)?(q1?q2?q3)?qii?1,2,3 ??2?a?c?q1?2q2?q3?0?q2??3?a?c?q1?q2?2q3?0?q311q2?q3?(a?c?q1)，代入得?1?(a?c?q1)q1

331d?11***q?q?(a?c) 令?0,q1?(a?c)，代入得：236dq12

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