专题6 轴对称之最短路径
破解策略
用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问 题．常见的题型有：
1．已知：在直线l同恻有A．B两点，在l上找一点P，使得AP＋PB最小．
B A
作法：如图．作点A关于直线l的对称点A’，连结A'B，与直线，的交点就是点P
2．已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得|AP－PB|最小
作法：如图，连结AB，作线段AB的垂甫平分线．与直线l的交点就是点P
3．已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P．使得|AP－PB|最大
B A P l
A' A P l
B l
作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点P
4．已知：在直线l同侧有A，B两点．在l上找两点C，D（其中CD的长度固定，等于 所给线段d），使得AC＋CD＋DB最小，
作法：如图，先将点A向右平移口个单位长度到点A'，作A'关于直线l的对称点A\， 连结A\B，与直线l的交点就是点D．连结A'D，过点A作AC∥A'D，交直线l于点C．则 此时AC'＋CD＋DB最小．
5．已知：在?MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最
A C A\ A' D B l
a
A
l
B P A B l B A
l
小．
作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P'，P\，连结P'P\，与射线ON， OM的交点就是点Q，R．
6．已知：在?MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q．使得PR＋QR最小
M
O
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'Q?ON，垂足为Q，P'Q与射线ON的交点就是R．
N P O P\R M P O N
M P Q P' N
O P' R M P Q
N
7．已知：在?MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S．使得PR＋RS＋SQ最小．
作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连 纳P'Q'．与射线OM，ON的交点就是R，S． 例题讲解
例1 （1）如图1，等边△ABC中，AB＝2，E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P，使BP＋EP的值最小，并求BP＋PE的最小值．
O P' R M P Q S Q' N O M P Q N
（2）如图2，已知⊙O的直径CD为2，AC的度数为60°，点B是AC的中点，在直径CD上作出点P，使BP＋AP的值最小，并求BP＋AP的最小值．
（3）如图3，点P是四边形ABCD内一点，BP＝m，∠ABC＝α，分别在边AB，BC上作出点M，N，使△PMN的周长最小，并求出这个最小值（用含m，α的代数式表示）．
ABAECOBCBDPCADD
图1 图2 图3
解
ABEPBCCEDDBAEMHNFCDAPO
（1）3（作法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，
这点就是所求的点P）； （2）2（作法是：作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于一点，这点就是所求
的点P）；
（3）分别作点P关于边AB，BC的对称点E，F，连结EF，分别与边AB，BC交于点M，N，线段EF的长度即为△PMN的周长的最小值． 如图，连结BE，BF，
∠EBF＝2∠ABC＝2α，BE＝BF＝BP＝m． 过点B作BH⊥EF于点H， 所以∠EBH＝
12∠EBF＝α，EH＝FH．
EHBE在Rt△BEH中，sinα＝，
所以EH＝BE·sinα＝m·sinα， 所以EF＝2m·sinα，
即PM＋PN＋MN＝EF＝2m·sinα．
例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以1，3为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，求PM＋PN的最小值．
yByBAMOPNOAMNPM'A'xx
解 如图，作⊙A关于x轴的对称图形⊙A′，连结A′B，与x轴交于点P，与⊙A′交点为M′，与⊙B交点为N，连结PA，PA与⊙A交点为M，则此时PA＋PB值最小，从而PM＋PN值也最小，最小值为线段M′N的长．
如图，易得A′（2，－3），由两电间距离公式得A′B＝5故M′N＝522．
－4，即PM＋PN＝52－4．
例3 如图1，等边△ABC的边长为6，AD，BE是两条边上的高，点O为其交点． P，N 分别是BE，BC上的动点．
AAEPBODCBQNPODENC
图1 图2
所以EH＝BE·sinα＝m·sinα， 所以EF＝2m·sinα，
即PM＋PN＋MN＝EF＝2m·sinα．
例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以1，3为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，求PM＋PN的最小值．
yByBAMOPNOAMNPM'A'xx
解 如图，作⊙A关于x轴的对称图形⊙A′，连结A′B，与x轴交于点P，与⊙A′交点为M′，与⊙B交点为N，连结PA，PA与⊙A交点为M，则此时PA＋PB值最小，从而PM＋PN值也最小，最小值为线段M′N的长．
如图，易得A′（2，－3），由两电间距离公式得A′B＝5故M′N＝522．
－4，即PM＋PN＝52－4．
例3 如图1，等边△ABC的边长为6，AD，BE是两条边上的高，点O为其交点． P，N 分别是BE，BC上的动点．
AAEPBODCBQNPODENC
图1 图2
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