专题7 旋转之求线段最值
破解策略
用旋转思想解决线段最值问题的本质用三角形三边关系解决问题
如图，线段OA， OB为定长，则A， B， O三点共线时，AB取得最值： 当点B位于处B1时，AB取得最小值OA－OB；当点B位于B2处时，AB取得最大值OA＋OB．
BAB1OB2最小值最大值
常见的题型有：
1． 如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A， B分别在互相垂直的直线m， n上滑 动．
nBCOAm
取AB中点D， 连接OD， CD． 当O， C， D三点共线时，OC取得最大值OD＋CD．
nBCDOAm
2． 如图，等边△ABC大小固定，点A， B分别在互相垂直的直线m， n上滑动．
nBCOAm
取AB中点D， 连接OD， CD． 当O， C， D三点共线时，OC取得最大值OD＋CD．
nBDOAm
3． 如图，Rt△ABC大小固定，其中∠ABC＝90°，点A， B分别在互相垂直的直线m， n上滑动．
CnBOC
取AB中点D， 连接OD， CD． 当O， C， D三点共线时，OC取得最小值|CD –OD|．
AmnBODAmC
例题讲解
例1．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝
1． 若BC＝6， 点D在边AC的三2等分点处，将线段AD绕A点旋转，E始终为BD的中点，求线段CE长度的最大值．
ADECB
解：在Rt△ABC中，AC＝① 如图1，当AD＝EF＝
BC＝12，AB＝65．
tan?BAC11AC时，取AB的中点F，连接EF和CF， 则CF＝AB＝35， 321AD＝2． 所以当且仅当C， E， F三点共线且点F在线段CE上时，CE最大， 2此时CE＝CF＋EF＝2＋35．
ADFEC图1
B
② 如图2，当AD＝
2AC时，同理可得CE的最大值为4＋35． 3综上可得，当点D在靠近点C的三等分点处时，线段CE的长度的最大值为4＋35．
ADFEC图2
B
例2 以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO＝30°．如图，若BO＝33，点N在线段OD上，且NO＝2，P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为________，最大值为________．
AONCPBD
解：33－2；33＋2． 2133OB＝．
2233故当点P在点E处时，OP长度取最小值；当点P在点B处时，OP长度取最大值33．
2过点O作OE⊥AB于点E，则OE＝
AONCEPBD
①当△AOB绕点O旋转到O， E，D三点共线，且点E在线段OD上时，PN取最小值，即OE－ON＝33－2； 2ONCBAE(P)D
②当△AOB绕点O旋转到O，B，D三点共线，且点B在线段DO的延长线上时，PN取最大值，OB＋ON＝33＋2． 所以线段PN长度的最小值为33－2，最大值为33＋2． 2B(P)OANCD
进阶训练
1． 已知△AOB和△COD是等腰三角形，其中BA＝BO＝2，CD＝CO＝3，∠ABO＝∠DCO．连结AD，BC，M，N分别为OA，BC的中点．若固定△AOB，将△COD绕点O旋转，求MN的最大值．
BMNOACD
【答案】
5． 2【提示】如图，取OB的中点E，连结EM，EN，则EM，EN为定值，当点E在线段MN上时，MN取最大值．
BENOCMAD
2． 已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A旋转，得到等腰Rt△AD1E1，记直线BD1与CE1的交点为P． （1）设BC的中点为M，求线段PM的长； （2）求点P到AB所在直线的距离的最大值．
CED1PAE1DB
【答案】（1）22；（2）1＋3．
【提示】（1）易证△E1AC≌△D1AB，所以∠E1CA＝∠D1BA，从而可得∠BPC＝∠BAC＝90°，所以PM＝
CED1PAE1DBM1BC＝22． 2
（2）由题意知，点D1，E1在以A为圆心、AD为半径的圆上，而点P在直线BD1上，所以当直线BD1与⊙A相切时，点P到AB的距离最大．此时四边形AD1PE1是正方形，即PD1＝AD1＝2．如图，作PG⊥AB于点G，解Rt△PGB即可．
BENOCMAD
2． 已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A旋转，得到等腰Rt△AD1E1，记直线BD1与CE1的交点为P． （1）设BC的中点为M，求线段PM的长； （2）求点P到AB所在直线的距离的最大值．
CED1PAE1DB
【答案】（1）22；（2）1＋3．
【提示】（1）易证△E1AC≌△D1AB，所以∠E1CA＝∠D1BA，从而可得∠BPC＝∠BAC＝90°，所以PM＝
CED1PAE1DBM1BC＝22． 2
（2）由题意知，点D1，E1在以A为圆心、AD为半径的圆上，而点P在直线BD1上，所以当直线BD1与⊙A相切时，点P到AB的距离最大．此时四边形AD1PE1是正方形，即PD1＝AD1＝2．如图，作PG⊥AB于点G，解Rt△PGB即可．
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