2018年湖南省娄底市中考数学试卷(5)

（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示． 设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0）， 将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，

，解得：

，

∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6． ∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3）， ∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），

∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3，

∴S△BDF=FM?（yB﹣yD）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1． ∵﹣1＜0，

∴当x=2时，S△BDF取最大值，最大值为1．

②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示． ∵EF1∥BD， ∴∠AEF1=∠DBE． ∵ON=ON′，EO⊥NN′，

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∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．

∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0）， ∴点E的坐标为（1，0）．

设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1， 将E（1，0）代入y=﹣2x+b1， ﹣2+b1=0，解得：b1=2，

∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2． 联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，

，

解得：，

，2

（舍去）， ﹣2）．

∴点F1的坐标为（2﹣

当x=0时，y=﹣2x+2=2， ∴点N的坐标为（0，2）， ∴点N′的坐标为（0，﹣2）．

同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2． 联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，

，

解得：，

，﹣2

（舍去）， ﹣2）．

，2

﹣2）或（﹣

，

∴点F2的坐标为（﹣

综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣﹣2

﹣2）．

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【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、平行线的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）①根据三角形的面积公式找出S△BDF=﹣x2+4x﹣3；②联立直线与抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点F的坐标．

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