【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB， ∴∠PCB=∠PBC，
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∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠BAD+∠BCD=180°， ∵∠BCD+∠PCB=180°， ∴∠BAD=∠PCB， ∵∠BAD=∠BFD， ∴∠BFD=∠PCB=∠PBC， ∴BC∥DF， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴∠ABC=90°， ∴AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=90°， ∵BG⊥AD， ∴∠AGB=90°， ∴∠ADC=∠AGB， ∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD， ∴四边形BCDH是平行四边形， ∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB=∴tan∠ACB=
DH， =
，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°， ∴∠ADB=60°，BC=AC， ∴DH=AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°， ∴∠AMD+∠ADM=90° ∵DE⊥AB， ∴∠BED=90°， ∴∠BDE+∠ABD=90°，
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∵∠AMD=∠ABD， ∴∠ADM=∠BDE， ∵DH=AC， ∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°， ∴∠ODH=20° ∵∠AOB=60°， ∴∠ADM+∠BDE=40°， ∴∠BDE=∠ADM=20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN， 由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°， ∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
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18．（2018?温州）如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在BD上． （1）求证：AE=AB．
（2）若∠CAB=90°，cos∠ADB=，BE=2，求BC的长．
【分析】（1）由折叠得出∠AED=∠ACD、AE=AC，结合∠ABD=∠AED知∠ABD=∠ACD，从而得出AB=AC，据此得证；
（2）作AH⊥BE，由AB=AE且BE=2知BH=EH=1，根据∠ABE=∠AEB=∠ADB知cos∠ABE=cos∠ADB=
=，据此得AC=AB=3，利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC， ∴∠AED=∠ACD，AE=AC， ∵∠ABD=∠AED， ∴∠ABD=∠ACD， ∴AB=AC， ∴AE=AB；
（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，
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∵AB=AE，BE=2， ∴BH=EH=1，
∵∠ABE=∠AEB=∠ADB，cos∠ADB=， ∴cos∠ABE=cos∠ADB=， ∴
=．
∴AC=AB=3，
∵∠BAC=90°，AC=AB， ∴BC=3
19．（2018?天门）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM． （1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．
．
【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；
（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．
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【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下： 连接OC，如图， ∵GD⊥AO于点D， ∴∠G+∠GBD=90°， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵M点为GE的中点， ∴MC=MG=ME， ∴∠G=∠1， ∵OB=OC， ∴∠B=∠2， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠OCM=90°， ∴OC⊥CM， ∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°， ∴∠1=∠5，
而∠1=∠G，∠5=∠A， ∴∠G=∠A， ∵∠4=2∠A， ∴∠4=2∠G，
而∠EMC=∠G+∠1=2∠G， ∴∠EMC=∠4， 而∠FEC=∠CEM， ∴△EFC∽△ECM， ∴
=
=
，即
=
=，
∴CE=4，EF=， ∴MF=ME﹣EF=6﹣=
．
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20．（2018?泰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3
，DF=3，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；
（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案． 【解答】解：（1）DE与⊙O相切， 理由：连接DO， ∵DO=BO， ∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D， ∴∠EBD=∠DBO， ∴∠EBD=∠BDO， ∴DO∥BE， ∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°， ∴DE与⊙O相切；
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（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB， ∴DE=DF=3， ∵BE=3∴BD=
，
=6，
∵sin∠DBF==， ∴∠DBA=30°， ∴∠DOF=60°， ∴sin60°=∴DO=2则FO=
， ，
﹣×
×3=2π﹣
．
=
=
，
故图中阴影部分的面积为：
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