ab
且PF1 PF2.若 PF1F2的面积为9，则b=____________.【答案】3
|PF1| |PF2| 2a
【解析】依题意，有 |PF1| |PF2| 18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
222 |PF1| |PF2| 4c
x2y2
15.已知椭圆2 2 1(a＞b＞0)上总存在点P,使PF1 PF2 0,其中F1,F2是椭圆的焦点,
那么该椭圆离心率的取
ab
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,1 值范围是 2
[点评]此题借助向量语言给出PF1和PF2的垂直关系，重点考查椭圆的几何性质.
向量与解析解答题
16．已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x 3)i yj, b=(x )i yj,且满足
|a|+|b|=4.
(1)求点P(x,y)的轨迹C的方程.
(2)如果过点Q(0，m)且方向向量为c =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当 AOB的面积取到最大值时，求m的值。
解：(1) a=(x )i yj, |b|=(x )i yj,且|a|+|b|=4.
2 点P(x,y)到点(3,0)，(-3,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为 y2 1 4
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得
4
(m2 1) 5x2 8mx 4m2 4 0，则x1+x2=-8m, x1 x2=因此，S AOB 1
ABd
2(5 m2)m2
当5 m2 m2时，即m=
时，Smax 1
[变式1] 已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x 3)i yj, b=(x 3)i yj,且满足
||a|-|b||=2.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(轨迹为双曲线)
(x 3)i yj(x 3)i yj,且满足[变式2] 已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=, b=
b i=|a|.求点P(x,y)的轨迹C的方程.
[提示：设K(-,0)，F (3,0)，则b i表示在x轴上射影，即点P到x= -的距离，所
以点P到定点F的距离与到定直线x= -的距离比为1，故点P的轨迹是以(,0)为焦点以x= -3为准线抛物线]
[变式3] 已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x 3)i yj, b=(x 3)i yj,且满足
b i= |a|.求点P(x,y)的轨迹C的方程.
[提示：设K(-,0)，F (3,0)，则b i表示在x轴上射影，即点P到x= -的距离，所
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以点P到定点F的距离与到定直线x= -的距离比为 ，当0 1时，点P的轨迹是
b i 以(3,0)为焦点，以x= -3为相应准线的椭圆；当 1时，点P的轨迹是以(,0)为焦点，
a
以x= -为相应准线的双曲线的右支；若想得到双曲线的双支 应满足什么条件？]
[变式4] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，KP
KF .求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的抛物线)
[变式5] 已知平面上两定点K、F，P为一动点，满足，
.求点P(x,y)的轨迹C的方程.(以F焦点，过K且垂直于KF的直线为准线的圆锥曲线。) 17. 已知点A( 22，0)，B( 2，0)动点P满足 2|| ||
(1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程. (2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，
2
）作斜率为k的直线交曲线 3
C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q. 解：（1）设P(x，y)，则有AP (x 22,y) AB (2,0) BP (x ∵AP AB
2
2
2,y)
2 |AB| |BP| ∴2x 4 2 2 (x 2)2 y2
得：x 2y 4
x2y22
1 得Q (0，2) 设直线C的方程为y=kx-（2）由
342
代入x2+2y2=4得 (1+2k2) x2
4232
kx 0 39
设M(x1，y1) N(x2，y2) QM (x1,y1 2),QN (x2,y2 2) ∵x1 x2
42k32x x 1222
3(1 )k9(1 2k)
又∵ x1x2 (kx1
4242
)(kx2 ) 33
32
(1 k2)
42324242k322
k(x1 x2) k 0 =x1x2(1 k) 3931 2k23(1 2k2)9
∴ ∴点Q在以MN为直径的圆上.
[变式1] 已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x )i yj, b=(x 3)i yj,且满足
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|a+b|=4..求点P(x,y)的轨迹C的方程. (AP BP 2OP,点P轨迹为圆，其中A（，0），B（－
3，0）)
[变式2] 已知i,j是x,y轴正方向的单位向量，设a=(x 3)i yj, b=(x 3)i yj,且满足
a b＝6.求点P(x,y)的轨迹C的方程. (轨迹为圆)
1 y2
18设椭圆方程为x 1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B,O是坐标原点,点P满足OP OA OB,点N
42
2
11
的坐标为 , .当l绕点M旋转时,求(1)动点P的轨迹方程;(2)NP的最大值和最小值.
22
y2
[解析]⑴设l:y kx 1，代入x 1中消y得 4 k2 x2 2kx 3 0.
4
2
设A x1,y1 ,B x2,y2 ,则x1 x2 OP
2k8
,y y kx x 2 121222
4 k4 k
x xy y 1 k4 2
OA OB 12,1 , 22 22 4 k4 k 2
k
x 4 k222
设P x,y ，则 ，消k得4x y y 0
y 4 4 k2
当k不存在时，AB中点为（0，0），满足上述方程. 所以P点轨迹方程是4x y y 0.
⑵由P点轨迹方程知x
|NP|22
2
111
, x 1644
x7
2
111
所以，当x 时，|NP|min ；当x
时，|NP|max .
446
[点评]此题主要考查平面向量的基本运算、直线和圆锥曲线相交问题、轨迹方程的求法和应用、配方法求函数的
最值等基本知识，考查了解析几何的基本思想和综合解题能力. 19.
【文】a
(x,y 2),b (x,y 2 8,
（Ⅰ）求M(x,y)的轨迹C；
(Ⅱ)过点（0，3）作直线l与曲线交于A,B两点， ，是否存在直线l使OAPB为矩形．
解：
（Ⅰ）a b 8 8 设F1(0, 2),F2(0,2)，则MF1 MF2 8
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x2y2
因此，点M的轨迹是以F1、F2为焦点，长轴长为8的椭圆，其方程为 1
1216
（Ⅱ）假设存在这样的直线，使得OAPB为矩形，并设l:y kx 3 与椭圆方程联立得：(3k2 4)x2 18kx 21 0(*) 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1、x2是（*）的两根， 且x1 x2
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