高中 向量学习 必备
向量的知识点与高考应用及题型融合
一,向量重要结论
2 2
（1）、向量的数量积定义：a b |a||b|cos 规定0 a 0， a a a |a|
a b
（2）、向量夹角公式：a与b的夹角为 ，则cos
|a||b|
（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线 存在惟一的 R，使b a。
（4）、两向量平行的充要条件：向量a (x1,y1),b (x2,y2)平行 x1y2 x2y1 0
（5）、两向量垂直的充要条件：向量a b a b 0 x1x2 y1y2 0
（6）、向量不等式：|a| |b| |a b|，|a||b| |a b|
（7）、向量的坐标运算：向量a (x1,y1),b (x2,y2)，则a b x1x2 y1y2
a b
（8）、向量的投影：︱b︱cos =∈R，称为向量b在a|a|
（9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等向量：长度相等且
方向相同的向量。
（10）、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行a＝0 ｜a｜＝由
于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零
向量”这个条件．（注意与0的区别）
（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量 ｜a0｜＝
（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同
或相反的向量，a∥b(即自由向量)，平行向量总可以平移到同
注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量u 1,k 或u m,n ，要会求出直线的斜率；
（2）给出 与AB相交,等于已知OA OB过AB的中点;
（3）给出PM PN 0,等于已知P是MN的中点;
（4）给出 ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;
（5）给出以下情形之一：①
, ,且 1,使OC OA OB,等于已知A,B,C三点共线.
AB//AC
；②存在实数 ,使B AC；③若存在实数
（6） 给出OP
，等于已知P是AB的定比分点， 为定比，即
1
（7） 给出MA MB 0,等于已知MA MB,即 AMB是直角,给出 是钝角, 给出MA MB m 0,等于已知 AMB是锐角。
m 0,等于已知 AMB
（8）
给出 MP,等于已知MP是 AMB的平分线/ （9）在平行四边形ABCD中，给出(AB AD) (AB AD) 0，等于已知ABCD是菱形;
（10） 在平行四边形ABCD中，给出|AB AD| |AB AD|，等于已知ABCD是矩形;
2
2
2
（11）在 ABC中，给出 ，等于已知O是 ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在 ABC中，给出OA OB OC
0，等于已知O是 ABC的重心（三角形的重心是三角形三条
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中线的交点）；
（13）在 ABC中，给出OA OB三角形三条高的交点）；
OB OC OC OA，等于已知O是 ABC的垂心（三角形的垂心是
ABAC
)( R )等于已知通过 ABC的内心； （14）在 ABC中，给出OP OA (|AB||AC|
（15）在 ABC中，给出a b c 0等于已知O是 ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
1 （16） 在 ABC中，给出AD AB AC,等于已知AD是 ABC中BC边的中线。
2
（17）如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 1, 2使：
a 1e1 2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
（18）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况 （19）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关
（20）1.结合律不成立：a b c a b c；
2.消去律不成立a b a c不
3.a b=0不能
b c
a=0或b=01、 向量与三角函数的结合
向量与三角函数结合，题目新颖而精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查 1.（江西18）．已知向量
xx x x
(2cos, )), (2sin( ), )),令f(x) .
2242424
是否存在实数x [0, ],使f(x) f (x) 0(其中f (x)是f(x)的导函数)?若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.
x x
) ) ) 42424
xx1 tantan 1
x2x2xxxx 22cos(sin cos) 2sincos 2cos2 1
xx222222221 tan1 tan
22
sinx cosx.
解：f(x) 22cos
x2x2
令f(x) f (x) 0,即:
f(x) f (x) sinx cosx cosx sinx
2cosx 0.
可得x
2
,所以存在实数x
2
[0, ],使f(x) f (x) 0.
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2．已知向量m (cos ,sin )和n
sin ,cos , ,2 ，且m n 求cos 的值.
5 28
分析：考查知识点：（三角和向量相结合）
解
:m n cos sin sin
m n
=
7
由已知m n ,得cos 又cos 2cos2( ) 1
4 284 25
165 9 ,2 cos2( )
28258288
4
cos 0 cos
5 28 28
3.（2009上海卷文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 .
已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m (a,b)，
n (siBn
，,sAip (b 2,a 2) .
（1） 若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；
（2） 若m⊥p
，边长c = 2，角C = ΔABC的面积 .
uvv
证明：（1）Qm//n, asinA bsinB,
ab
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