河南省郑州市第一中学2018届高三数学上学期第二次月考试题理(2)

（2）设直线MN 与y 轴交于点),0(d D ，求实数d 的取值范围．

21．已知函数R a x ax x x f a ∈-+=,ln )(2.

（1）若函数)(x f a 在]2,1(上是减函数，求实数a 的取值范围；

（2）当],0(e x ∈时，分别求函数2)(2x x f e -的最小值和25ln )(+=

x x x g 的最大值，并证明当],0(e x ∈时，)()(22x g x x f e >-成立；

（3）令x a ax x f x h a a ln )1()()(-+=+，当0<a 时，判断函数)(x h a 有几个不同的零点并证明.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，已知曲线C 的参数方程为???==θθ

sin 3cos 2y x （θ为参数），以坐标原点为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 过极坐标系内的两点)4,

2(πA 和)2,3(π

B ． （1）写出曲线

C 的普通方程，并求直线l 的斜率；

（2）设直线l 与曲线C 交于Q P ,两点，求||||BQ BP ?.

23．选修4-5：不等式选讲

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6 已知函数|12|)(-=x x f ．

（1）若不等式)0(12)21(>+≥+m m x f 的解集为]2,2[-，求实数m 的值；

（2）若不等式|32|1)(+++≤x a

a x f 对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．

试卷答案

一、选择题

1-5：ACCBA 6-10：BAACD 11、12：BD

二、填空题

13．}31|{<<-x x 14．甲、丙 15．8 16．1

三、解答题

17．（1）设等差数列}{n a 的公差为d .

由题意可得??

???=-??+=+22)14(4214411d a d a 解得???==311d a 所以23)1(31-=-+=n n a n .

（2）证明：因为23-=n a n ，所以122)4(34+=-+=+n n a n a ，

因为n c 是n a 除以4的余数，所以4+n c 是4+n a 除以4的余数，

由124+=+n n a a 两边同时除以4，得

左边的余数为4+n c ，右边的余数为n n c c =+0，所以n n c c =+4.

18、（1）考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门学科中任选两科，故共有

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7 1526=C 种不同选择.

（2）因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试的总次数X 服从二项分布)

2.0,9(B ，所以分布列为

所以X 的数序期望8.12.09)(=?=X E .

19、（1）要使平面⊥1PBC 平面C C AA 11，只需⊥PB 平面C C AA 11.

因为四棱柱1111D C B A ABCD -为长方体，

所以⊥1AA 平面ABCD ，所以PB AA ⊥1.

又因为A AC AA = 1，所以只需AC PB ⊥，

只需CBP BAC ∠=∠，只需BAC ?∽CBP ?，

因为2π=∠=∠ABC PCB ，所以只需

BC

PC AB BC =， 因为P 为DC 的中点，所以BC AB

AB BC 2=，所以22=AB BC . 所以当2

2=AB BC 时，平面⊥1PBC 平面C C AA 11. （2）存在.理由如下：建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -，

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则)0,2,0(),1,0,1(),1,2,0(),0,2,1(1C A C B ，所以)1,0,1(),1,2,1

(11-=--=BC A ， 由)10(<<=λλDC DP 得)0,2,0(λP ，则)0,22,1(--=λBP ，

设平面1PBC 的法向量为),,(z y x =，则?????=?=?0

01BC n ， 所以?

??=-+-=+-0)22(0y x z x λ，取1=x ，则)1(21,1-==λy z ， 所以)1,)

1(21,1(-=λn ， 设直线C A 1与平面1PBC 所成的角为θ， 则211)4(1126|112|||||sin λλθ-+?-+=?=AC n 2)4(1126112λλ-+?-+= 令t =-+λ112，则),3(+∞∈t ，211-=-t λ

， 所以61)611(3614113

614)2(26sin 222

+-?=+-?=-+?=t t t t t

θ 所以当611

=t ，即6=t ，4

3=λ时，θsin 取得最大值1. 20、（1）依题意得椭圆C 的左焦点为)0,1(-F ，上顶点为)3,0(B ， 故3,1==b c ，所以222=+=c b a ，

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9 所以椭圆C 的标准方程为13

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2=+y x . （2）设直线AM 的斜率为k ，因为NAF MAF ∠=∠，所以AN AM ,关于直线AF 对称， 所以直线AN 的斜率为k -，

易知)23,1(-A ，所以直线AM 的方程是)1(2

3+=-

x k y ， 设),(),,(2211y x N y x M ， 联立???????=++=-134

)1(2322y x x k y ，消去y ，得0)3124()812()43(222=-+++++k k kx k x k ， 所以2

21433124k k k x ++--=， 将上式中的k 换成k -，得222433124k

k k x +++-=， 所以2

14324)24368(]2)[(2

2221212121=+-+++-=-++=--=k k k k k x x x x k x x y y k MN ， 所以直线MN 的方程是d x y +-=2

1， 代入椭圆方程13

42

2=+y x ，得0322=-+-d dx x ， 所以0)3(4)(22>---=?d d ，解得22<<-d ，

又因为MN 在A 点下方，所以12

3211<?>+?

-d d ， 所以12<<-d . 21、（1）由题意得01212)(2'

≤-+=-+=x ax x x a x x f a

在]2,1(上恒成立， 令12)(2

-+=ax x x m ，有???≤≤0)2(0)1(m m 即???≤-+≤-+0128012a a

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10 得??

???-≤-≤271a a ，所以27-≤a . （2）由题意可得0,ln )(222>-=-x x x e x x f e

令01]')([2

22=-=-x e x x f e ，则21e x =，],0(12e e

∈， 所以2)(2x x f e -在)1,0(2e 上单调递减，在),1(2e e

上单调递增， 所以当21e

x =时，2)(2x x f e -取最小值3. 2ln 1)('x x x g -=，令0)('=x g ，得e x =， 当e x ≤<0，0)('≥x g ，)(x g 在],0(e 上单调递增， 所以2

51)()(max +==e e g x g ， 因为当],0(e x ∈时，max min 2)(2

5125213])([2x g e x x f e =+>+=

=-， 所以当],0(e x ∈时，)()(22x g x x f e >-. （3）因为x a ax x f x h a a ln )1()()(-+=+，

所以2ln )(ln )1()(x x a x f x a ax x h a a -=--+=， 其定义域为),0(+∞，

x x a x x a x h a

2

'

22)(-=-=， 因为0<a ，所以0)('<x h a ，所以)(x h a 在),0(+∞上单调递减， 因为0<a ，所以1)1(2>-a ，1][02)1(2<<-a a e

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