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让每个人平等地提升自我
1 河南省郑州市第一中学2018届高三上学期第二次月考
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合}80|{≤<∈=x N x U ，}5,4,3,2,1{=S ，}7,5,3{=T ，则=)(T C S U ( )
A ．}4,2,1{
B ．}7,5,4,3,2,1{
C ．}2,1{
D ．}8,6,5,4,2,1{
2．已知i 为虚数单位，复数i
z +=12，则z z -等于（ ） A ．2 B ．i 2 C ．i 2- D ．0
3．执行如图所示的程序框图，如果输入36=m ，15=n ，则输出的n 的值为（ ）
A ．12
B ．6
C ．3
D ．0
4．已知)(x f ，)(x g 是定义在],[b a 上连续函数，则“)()(x g x f <对一切],[b a x ∈成立”是“)(x f 的最大值小于)(x g 的最小值”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．如下左图所示的一个正三棱柱被平面111C B A 截得的几何体，其中2=AB ，31=AA ，21=BB ，11=CC ，几何体的俯视图如下右图所示，则该几何体的正视图是（ ）
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2
6．设1)1(22≤-+y x ，则2≥+y x 的概率为（ ）
A ．41
B ．ππ42-
C ． π21
D ．π
π423+ 7．设βα,为锐角，且22π
βα=-，1sin cos tan =+β
βαx ，则=x （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2
8．若非零向量,的夹角为锐角θ，θcos ||=b ，则称被“同余”.已知被“同余”，则-在上的投影是（ ）
A ||22a b a
B ．222b a -
C ||22a a b
D ||2
2b b a 9．已知椭圆1C ：)1(1222>=+m y m x 与双曲线2C ：)0(1222>=-n y n
x 的焦点重合，21,e e 分别为21,C C 的离心率，则2
221e e +的取值范围为（ ）
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3 A ．),2[+∞ B ．)2,0( C ．),2(+∞ D ．)2
2,0( 10．平面α过正方体1111D C B A ABCD -的面对角线1AB ，且平面⊥α平面BD C 1，平面 α平面11A ADD AS =，则AS A 1∠的正切值为（ ）
A ．23
B ．55
C ． 33
D ．2
1 11．已知点),(t s P 在曲线C ：2
22
x y -=上运动，给出以下命题： 1p ：在x 轴上一定存在两个不同的定点R Q ,，满足PR PQ +为定值；
2p ：在y 轴上一定存在两个不同的定点R Q ,，满足||PR PQ -为定值；
3p ：22)2(t s +-的最小值为1；
4p ：2222)2()22()2(t s t s +--+-+-的最大值为432-.
则下列命题为真命题的是（ ）
A ．21)(p p ∨?
B ．)(31p p ?∧
C ．)(43p p ?∧
D ．32p p ∨
12．=∑=--m k k n m n k n C C
0（ ） A ．n m +2 B ．m m n C 2
C ． m n n C 2
D ．m n m C 2 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知a 是任意实数，则关于x 的不等式3222)2017()2017(2++-<+-x x a a a a 的解集为 ．
14．已知甲、乙、丙三人恰好都去过北京、上海中的某一个城市，三人分别给出了以下说法： 甲说：“我去过上海，乙也去过上海，丙去过北京.”
乙说：“我去过上海，甲说得不完全对.”
丙说：“我去过北京，乙说得对.”
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4 已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则去过北京的是 ． 15．已知函数)6
cos(21)6sin(23)(ππ+-+=x x x f ，若存在n x x x ,,,21 满足π6021≤<<<≤n x x x ，且
),2(12|)()(||)()(||)()(|*13221N n n x f x f x f x f x f x f n n ∈≥=-++-+-- ，则n 的最小值为 ．
16．在斜三角形ABC 中，D 为BC 的中点，且090=∠+∠C BAD ，则
C
B ∠∠的值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．对于数列}{n a （+∈N n ），若存在N b n ∈，}3,2,1,0{∈n c ，n n n c b a +=4，则称数列}{n b ，
}{n c 分别为数列}{n a 的“商数数列”和“余数数列”.已知数列}{n a 是等差数列，n S 是其前n （+∈N n ）项和，42=a ，224=S ．
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）证明：)(4++∈?=N n c c n n ．
18．为了增强高考与高中学习的关联度，考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.
（1）某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择；
（2）甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是0.8，且三人约定如果达到二级不参加第二次考试，达不到二级参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
19．如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -为长方体，点P 是CD 上的一点.
（1）若P 为DC 的中点，当AB
BC 为何值时，平面⊥1PBC 平面C C AA 11；
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5 （2）若2=AB ，11==CC BC ，当)10(<<=λλDC DP 时，直线C A 1与平面1PBC 所成角的正弦值是否存在最大值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
20．已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点F 和上顶点B 在直线0333=+-y x 上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且x AF ⊥轴，N M ,为椭圆C 上不同于A 的两点，且NAF MAF ∠=∠．
（1）求椭圆C 的标准方程；
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