2017-2018学年北京市朝阳区2018届初三第一学期期末数学试题含答(2)

∠ADB ＝45°. 求⊙O 半径的长.

已知：△ABC ，AB ＝AC ，∠A ＝120°. 求作：△ABC 的外接圆.

作法：

（1）分别以点B 和点C 为圆心，AB 的长为半径 作弧，两弧的一个交点为O ； （2）连接BO ； （3）以O 为圆心，BO 为半径作⊙O . ⊙O 即为所求作的圆.

A C

B O A

C B C A B E B'C'A'D

2017-2018年度北京市初三上学期期末数学试卷 19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （3，3），点B （4，0），点C （0，﹣1）． （1）以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转90°，画出旋转

后的图形△A′B′C ；

（2）在（1）中的条件下，

① 点A 经过的路径AA'的长为 （结果保留π）；

② 写出点B ′的坐标为 .

20. 图中所示的抛物线形拱桥，当拱顶离水面4m 时，

水面宽8m. 水面上升3米，水面宽度减少多少？

下面给出了解决这个问题的两种方法.

方法一 如图1，以上升前的水面所在直线与抛物线

左侧交点为原点，以上升前的水面所在直线为x 轴，建立

平面直角坐标系xOy ，这时这条抛物线所表示的二次函数

的表达式为 ；当y ＝3时，求出此时自变量x 的取值，

即可解决这个问题. 图1

方法二 如图2，以抛物线顶点为原点，以抛物线的

对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，这时这条

抛物线所表示的二次函数的表达式为 ；当y ＝ 时，

求出此时自变量x 的取值，即可解决这个问题.

图2

21. 有两盏节能灯，每一盏能通电发亮的概率都是50%，按照图中

所示的并联方式连接电路，观察这两盏灯发亮的情况.

（1）列举出所有可能的情况；

（2）求出至少有一盏灯可以发亮的概率.

x y -1-11B C

A

O 1

2017-2018年度北京市初三上学期期末数学试卷 22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线32--=x y 与双曲线

x

k y =交于M （a ，2），N （1，b ）两点． （1）求k ，a ，b 的值；

（2）若P 是y 轴上一点，且△MPN 的面积是7，直接写出 点P 的坐标 ．

23. 如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB

上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F .

（1）求证：△P AF ∽△AED ； （2）连接PE ，若存在点P 使△PEF 与△AED 相似，直接写出

P A 的长

24. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，

⊙O 的切线DE 交AC 于点E .

（1）求证：E 是AC 中点； （2）若AB =10，BC =6，连接CD ，OE ，交点为F ，求OF 的长.

25. △ACB 中，∠C =90°，以点A 为中心，分别将线段AB ，AC 逆时针旋转60°得到线段AD ，

AE ，连接DE ，延长DE 交CB 于点F .

（1）如图1，若∠B =30°，∠CFE 的度数为 ；

（2）如图2，当30°<∠B <60°时，

①依题意补全图2；

②猜想CF 与AC 的数量关系，并加以证明.

图1 图2

F

E D C B

A P C

B A D E O A B

C C B A

2017-2018年度北京市初三上学期期末数学试卷

26．如图，直线AM 和AN 相交于点A ，∠MAN ＝30°，在射线AN 上取一点B ，使AB ＝6cm ，过点B 作BC ⊥AM 于点C ，D 是线段AB 上的一个动点（不与点B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ．

（1）确定点B 的位置，在线段AB 上任取一点D ，根据题意，补全图形；

（2）设AD=x cm ，CE=y cm ，探究函数y 随自变量x 的变化而变化的规律.

① 通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组对应值，如下表： x /cm

0 1 2 3 4 5 y /cm 5.2 4.4 3.8 3.5 8.1 （要求：补全表格，相关数值保留一位小数）

② 建立平面直角坐标系xOy ，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出

该函数的图象；

③ 结合画出的函数图象，解决问题：当AD 为Rt △CDE 斜边CE 上的中线时，

AD 的长度约为 cm （结果保留一位小数）．

N M

A

2017-2018年度北京市初三上学期期末数学试卷

27. 已知抛物线l 1与l 2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l 1：2

782--=ax ax y 交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB ＝6；抛物线l 2与l 1交于点A 和点C （5，n ）.

（1）求抛物线l 1，l 2的表达式；

（2）当x 的取值范围是 时，抛物线l 1与l 2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大

而增大；

（3）直线MN ∥y 轴，交x 轴，l 1，l 2分别相交于点P （m ，0），M ，N ，当1≤m ≤7时，

求线段MN 的最大值.

28. 在平面直角坐标系xOy 中，点A （0, 6），点B 在x 轴的正半轴上. 若点P ,Q 在线段AB

上，且PQ 为某个一边与x 轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P ,Q 的“X 矩形”. 下图为点P ,Q 的“X 矩形”的示意图.

（1）若点B （4,0），点C 的横坐标为2，则点B ,C 的“X 矩形”的面积为 .

（2）点M ，N 的“X 矩形”是正方形，

① 当此正方形面积为4，且点M 到y 轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N

的坐标及经过点N 的反比例函数的表达式；

② 当此正方形的对角线长度为3，且半径为r 的⊙O 与它没有交点，直接写出

r 的取值范围 .

备用图

y x 671532

5432-1-16O 14x y B A 715325432-1-16O 14P Q

2017-2018年度北京市初三上学期期末数学试卷

北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末检测

九年级数学试卷参考答案及评分标准 2018.1

一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案

C

B

D

C

A

B

B

C

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．3 10．290α

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