高考数学解析几何知识点总结【更多资料关注@高中学习资料库 】(3)

（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）

（2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做

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椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率

（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比

2cc，即称为椭圆的离心率， 2aac2b2e??1?()记作e（0?e?1），2aa2 e越接近于0 （e越小），椭圆就越接近于圆;

e越接近于1 （e越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。（

|PF|?e） dx2y2①焦点在x轴上：2?2?1（a＞b＞0）准线方程：xaba2??c2

ay2x2②焦点在y轴上：2?2?1（a＞b＞0）准线方程：y??

cab小结一：基本元素

（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量）， 特征三角形 （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 5．椭圆的的内外部

22xy00x2y2???1. （1）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的内部22abab（2）点P(x0,y0)在椭圆6.几何性质

xy?a2b22222x0y0?1(a?b?0)的外部?2?2?1.

ab（1） 焦半径（椭圆上的点与焦点之间的线段）：a?c?MF?a?c

2b2（2）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）AB?

a（3）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：S?MF1F2?b?tan2?2其中

?F1MF2??

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7直线与椭圆的位置关系：

(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式?的符号判断位置关系：

??0?有两个交点?相交??0?相切?有一个交点 ??0?相离?没有交点?x2y2???1消y得： 联立?a2b2??Ax?By?C?0?aA22?b2B2x2?2a2ACx?a2C2?b2B2?0a2C2?b2B2

x1x2?22aA?b2B2???2a2ACx1?x2?22aA?b2B2????x2y2???1消x得： 联立?a2b2??Ax?By?C?0?aA22?b2B2y2?2b2BCy?b2C2?a2A2?0b2C2?a2A2

y1y2?22aA?b2B2???2b2BCy1?y2?22aA?b2B2???x2y2(2)弦中点问题:斜率为k的直线l与椭圆?2?1(m?0,n?0,m?n)交于两点

m2n是AB的中点，则：kABA(x1,y1)、B(x2,y2)M（x0,y0）2AB?（x1?x2）?(y1?y2)2n2x0??2?

my0(3)弦长公式：

?（1?k）[(x1?x2)?4x1x2]

第四部分：双曲线

标准方程（焦点在x轴） 双曲线 标准方程（焦点在y轴） 22x2y2??1(a?0,b?0) a2b2y2x2??1(a?0,b?0) a2b2

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第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。?MMF1?MF2?2a??2a?F1F2? P yy xx P yF2yx F1 F2 F1x定义 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当e?1时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（e?1）叫做双曲线的离心率。 P y yyP xP yx x P F2 F1 F2 F1x 范围 对称轴 对称中心 x?a，y?R y?a，x?R x轴 ，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 原点O(0,0) F1(?c,0) F2(c,0) 焦点坐标 22F1(0,?c) F2(0,c) 焦点在实轴上，c?a?b；焦距：F1F2?2c 顶点坐标 离心率 （?a,0） (a,0) (0, ?a,) (0，a) e?c(e?1) a（1） 焦半径（双曲线上的点与焦点之间的线段）：a?c?MF 重要结论 2b2（2）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）AB? a

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（3）焦点三角形（双曲线上的任意一点与两焦点够成的三角形）：S?MF1F2?b2tan?2?b2?cot?2 y??a2 c2x??准线方程 a2 c准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2a c渐近线 方程 共渐近线的双曲线系方程 y??bx ax??by ax2y2?2?k（k?0） 2aby2x2?2?k（k?0） 2ab（1）判断方法:联立直线方程与双曲线方程消y(或x)得到关于x的一元二次方程，根据判别式?的符号判断位置关系： ??0?有两个交点?相交??0?相切?有一个交点 ??0?相离?没有交点?x2y2???1消y得： 联立?a2b2??Ax?By?C?0直线和双曲线的位置 ?aA22?b2B2x2?2a2ACx?a2C2?b2B2?0a2C2?b2B2 x1x2?22aA?b2B2???2a2ACx1?x2?22aA?b2B2????x2y2???1消x得： 联立?a2b2??Ax?By?C?0?aA22?b2B2y2?2b2BCy?b2C2?a2A2?0?b2C2?a2A2 y1y2?a2A2?b2B2??2b2BCy1?y2?2222aA?bB???x2y2(4)弦中点问题:斜率为k的直线l与双曲线??1(m?0,n?0)交于两点m2n2

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是AB的中点，则：kABA(x1,y1)、B(x2,y2)M（x0,y0）2AB?（x1?x2）?(y1?y2)2n2x0?2? my0弦长公式： ?（1?k）[(x1?x2)?4x1x2]22补充知识点：

等轴双曲线的主要性质有：

（1）半实轴长=半虚轴长；

（2）其标准方程为x?y?C其中C≠0； （3）离心率e?222；

（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；

（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；

（6）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分； 7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形面积恒为常数a 第五部分：抛物线知识点总结

2y2?2px(p?0) 图象 l y y2??2px(p?0) y x2?2py(p?0) y x2??2py(p?0) y l O F x l F O x O x l O F x F 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线定义 的焦点，直线l叫做抛物线的准线。{MMF=点M到直线l的距离} 范围 对称性 焦点 x?0,y?R x?0,y?R x?R,y?0 x?R,y?0 关于x轴对称 (关于y轴对称 p,0) 2(?p,0) 2(0,p) 2(0,?p) 2焦点在对称轴上

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顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线的距离 焦点到准线的距离 O(0,0) e=1 x??p 2x?p 2p 2y??p 2y?p 2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 p 焦半径 A(x1,y1) AF?x1?p 2AF??x1?p 2AF?y1?p 2AF??y1?p 2焦点弦 长 AB ?(x1?x2)?p (y1?y2)?p ?(y1?y2)?p (x1?x2)?p 焦点弦AB的几条性质 y M N A?x1,y1? x B?x2,y2? F? o 以AB为直径的圆必与准线l相切,以MN为直径的圆与AB相切与点F，即MF?FN A(x1,y1)B(x2,y2)(以焦点在x轴正半轴为例) AF?x1?pp?21?cos?BF?x2?pp? 21?cos?若AB的倾斜角为?，则AB?x1?x2?p?2p?2p(通径) sin2?p22x1x2? y1y2??p 4112??AFBFp

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