2005年至2010年山东、辽宁、江苏、宁夏高考数学理科试卷及答案(3)

或a 1

21）证明：必要性. 设{an}是公差为d1的等差数列，则

bn 1 bn (an 1 an 3) (an an 2) (an 1 an) (an 3 an 2) d1 d1 0

所以bn bn 1(n 1,2,3, ）成立.

cn cn 2 (cn cn 1) (cn 1 cn 2) 2d2 bn 2bn 1 3bn 2 2d2， ③

从而有bn 1 2bn 2 3bn 3 2d2. ④

④－③得(bn 1 bn) 2(bn 2 bn 1) 3(bn 3 bn 2) 0. ⑤

bn 1 bn 0,bn 2 bn 1 0,bn 3 bn 2 0，

∴由⑤得bn 1 bn 0(n 1,2,3, ).

由此 不妨设bn d3(n 1,2,3, ),则an an 2 d3（常数）. 由此cn an 2an 1 3an 2 4an 2an 1 3d3， 从而cn 1 4an 1 2an 2 3d3 4an 1 2an 5d3， 两式相减得an 1 cn 2(an 1 an) 2d3，

因此a11n 1 an 2

(cn 1 cn) d3 2

d2 d3(常数)(n 1,2,3, )，

所以数列{an}是等差数列.

证法二：令An an 1 an,由bn bn 1知an an 2 an 1 an 3,

从而an 1 an an 3 an 2,即An An 2(n 1,2,3, ). 由cn an 2an 1 3an 2,cn 1 an 1 2an 2 3an 3 得cn 1 cn (an 1 an) 2(an 2 an 1) 3(an 3 an 2)，即

An 2An 1 3An 2 d2. ⑥

由此得An 2 2An 3 3An 4 d2. ⑦ ⑥－⑦得(An An 2) 2(An 1 An 3) 3(An 2 An 4) 0. ⑧

因为An An 2 0,An 1 An 3 0,An 2 An 4 0， 所以由⑧得An An 2 0(n 1,2,3, ).

于是由⑥得， 4An 2An 1 An 2An 1 3An 2 d2 从而2An 4An 1 4An 1 2An 2 d2. ⑩ 由⑨和⑩得4An 2An 1 2An 4An 1,故An 1 An,即

an 2 an 1 an 1 an(n 1,2,3, ),

所以数列{an}是等差数列.

⑨

6

（

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