机械制造第4章质量分析与控制(10)

2．理论分布曲线

⑴ 正态分布曲线 大量的试验、统计和理论分析表明；当一批工件总数极多，加工中的误差是由许多相互独立的随机因素引起的，而且这些误差因素中又都没有任何优势的倾向，则其分布是服从正态分布的。这时的分布曲线称为正态分布曲线（即高斯曲线）。正态分布曲线的形态，如图4-36所示（本图也是标准正态曲线）。其概率密度的函数表达式是

图4-36 正态分布曲线

y?1e1x??2?()2??2? (4-8)

式中 y——分布的概率密度；

x——随机变量；

μ——正态分布随机变量总体的算术平均值(分散中心)； 6——正态分布随机变量的标准偏差。

由式（4-8）及图4-36可以看出，当x??时

1 (4-9) ymax??2?这是曲线的最大值，也是曲线的分布中心。在它左右的曲线是对称的。

正态分布总体的μ和?通常是不知道的，但可以通过它的样本平均值x和样本标准偏差?来估计。这样，成批加工一批工件。抽检其中的一部分，即可判断整批工件的加工精度。

用样本的X代替总体的μ，用样本的?代替总体的? 。

总体平均值μ＝0，总体标准偏差?＝1的正态分布称为标准正态分布。任何不同μ和?的正态分布曲线，都可以通过令Z?12?x???e?进行交换而变成标准正态分布曲线（如图4-36所示）。

?(Z)???(x)?Z22 (4-10)

?(Z)的值如表4-6。

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表4-6 标准正态分布曲线的概率密度

Z?(x??)/? ?(Z)???(x) 0.3989 0.3867 0.3521 0.3011 0.2420 0.1826 Z?(x??)/? ?(Z)???(x) 0.1295 0.0863 0.0540 0.0317 0.0175 0.0091 Z?(x??)/? ?(Z)???(x) 0.0044 0.0200 0.0009 0.0004 0.0001 0 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 从正态分布图上可看出下列特征：

1）曲线以x＝μ直线为左右对称，靠近μ的工件尺寸出现概率较大，远离μ的工件尺寸出现概率较小。

2）对μ的正偏差和负偏差，其概率相等。

3）分布曲线与横坐标所围成的面积包括了全部零件数（即100％），故其面积等于1；其中

x????3?（即在??3?）范围内的面积占了99.73%（见表4-7），即99.73％的工件尺寸落在?3?范围内，仅有0.27％的工件在范围之外（可忽略不计）。因此，—般取正态分布曲线的分布范围为?3?。

?3?（或6?）的概念，在研究加工误差时应用很广，是一个很重要的概念。6?的大小代表某

加工方法在—定条件（如毛坯余量，切削用量，正常的机床、夹具、刀具等）下所能达到的加工精度，所以在一般情况下，应该使所选择的加工方法的标准偏差?与公差带宽度T之间具有下列关系：

6?≤T

但考虑到系统性误差及其他因素的影响，应当使6?小于公差带宽度T，方可保证加工精度。 ⑵ 非正态分布曲线 工件实际尺寸的分布情况，有时并不符合正态分布。例如，将在两台机床上分别调整加工出的工件混在一起测定，由于每次调整时常值系统性误差是不同的，如常值系统性误差之值大于2.2?，就会得到如图4-37所示的双峰曲线。实际上这是两组正态分布曲线（如虚线所示）的叠加，也即随机性误差中混入了常值系统性误差。每组有各自的分散中心和标准偏差?。

又如，磨削细长孔时，如果砂轮磨损较快且没有自动补偿，则工件的实际尺寸分布将成平顶分布，如图4-38所示。它实质上是正态分布曲线的分散中心在不断地移动，也即在随机性误差中混有变值系统性误差。

再如，用试切法加工轴颈或孔时，由于操作者为了避免产生不可修复的废品，主观地（而不是随机的）使轴颈加工得宁大勿小，使孔径加工得宁小勿大，则它们的尺寸就是偏态分布，如图4-39a

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所示；当用调整法加工，刀具热变形显著时、也呈偏态分布，如图4-39b所示。

图4-37 双峰分布曲线

图4-38 平顶分布曲线

a）—试切轴和孔的分布曲线 b）刀具热变形的影响

图4-39 偏态分布

3．分布图的应用

⑴ 判别加工误差的性质。如前所述，假如加工过程中没有变值系统性误差，那么其尺寸分布应服从正态分布，这是判别加工误差性质的基本方法。如果实际分布与正态分布基本相符，加工过程中没有变值系统性误差（或影响很小），这时就可进一步根据X是否与公差带中心重合来判断是否存在常值系统性误差（X与公差带中心不重合就说明存在常值系统性误差）。如实际分布与正态分布有较大出入，可根据直方图初步判断变值系统性误差是什么类型。

⑵ 确定各种加工方法所能达到的加工精度。由于各种加工方法在随机性因素影响下所得的加工尺寸的分散规律符合正态分布，因而可以在多次统计的基础上，为每一种加工方法求得它的标准偏差?值；然后，按分布范围等于6?的规律，即可确定各种加工方法所能达到的精度。

⑶ 确定工序能力及其等级。工序能力是指某工序能否稳定地加工出合格产品的能力。由于加工

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时误差超出分散范围的概率极小，可以认为不会发生超出分散范围的加工误差，因此可以用该工序的尺寸分散范围来表示工序能力。当加工尺寸分布接近正态分布时，工序能力为6?。

把工件尺寸公差T与分散范围6?的比值称为该工序的工序能力系数Cp，用以判断工序能力的大小。Cp按下式计算

Cp?T/6?

式中 T——工件尺寸公差。

根据工序能力系数Cp的大小，工序能力共分为五级，如表4-7所示。 一般情况下，工序能力不应低于二级。 工序能力系数 工序能力等级 工序能力判断 表4-7 工序能力系数等级 Cp?1.67 特级工艺 很充分 1.67?Cp?1.33 1.33?Cp?1.00 1.00?Cp?0.67 一级工艺 充分 二级工艺 够用但不充分 三级工艺 明显不足 0.67?Cp 四级工艺 非常不足 ⑷ 估算不合格品率。正态分布曲线与x轴之间所包含的面积代表一批工件的总数100％，如果尺寸分散范围大于零件的公差T时，将肯定出现废品，如图4-40所示有阴影部分。若尺寸落在Amin、

Amax范围内，工件的概率即空白部分的面积就是加工工件的合格率，即

6σTZ1OxminAminxAMAmaxxmaxZ2 图4-40 废品率计算

Ah?12??AAmaxmine?(x?x)22?2dx

令 z1?则 Ah?Amin?x?12?，z2??z22Amax?x?12?

?z10edz??z20e?z22dz??(z1)??(z2)

阴影部分的面积为废品率；左边的阴影部分面积为

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Sf左?0.5??(z1)

由于这部分工件的尺寸小于工件要求的最小极限尺寸Amin，当加工外圆表面时，这部分废品无法修复，为不可修复废品。当加工内孔表面时，这部分废品可以修复，因而称为可修复废品。

右边阴影部分的面积为

Sf右?0.5??(z2)

由于这部分工件尺寸大于要求的最大极限尺寸Amax，当加工外圆表面时，这部分废品可以修复，为可修复废品。当加工内孔表面时，这部分废品不可以修复，为不可修复废品。

对于不同的z值，对应的函数值?(z)可由表4-8查得。

表4-8 ?(z)?0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 — 0.31 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.1179 — 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.1915 0.52 0.54 0.56 0.58 0.60 — 0.62 0.64 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76 0.78 0.80 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00 12??e0z?z22dz

1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 — 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90 1.95 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 0.3531 0.3643 0.3749 0.3849 0.3944 — 0.4032 0.4115 0.4192 0.4265 0.4332 0.4394 0.4452 0.4505 0.4554 0.4599 0.4641 0.4678 0.4713 0.4744 0.4772 0.4821 0.4861 0.4893 0.4918 0.4938 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 — 3.20 3.40 3.60 3.80 4.00 4.50 5.00 — — — — — — — — — — — — — 0.4953 0.4965 0.4974 0.4981 0.49865 — 0.49931 0.49966 0.499841 0.499928 0.499968 0.499997 0.49999997 — — — — — — — — — — — — — 0.1985 0.2054 0.2123 0.2190 0.2257 — 0.2324 0.2389 0.2454 0.2517 0.2580 0.2642 0.2703 0.2764 0.2823 0.2881 0.2939 0.2995 0.3051 0.3106 0.3159 0.3212 0.3264 0.3315 0.3365 0.3413 0.016mm，??0.005例 在磨床上加工销轴，要求外径d?12?mm，其?0.043mm，抽样后测得X?11.974 254

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