微积分（二）课后题答案，复旦大学出版社(9)

习题9-3

1． 判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：

?(1)

?n?1?(?1)n12n?1?; (2)

?n?1(?1)?2(?1)n?1n?2n;

(3)

?n?1?sinnxn2?; (４)

?n?1(?1)n?11πnsinπn;

1?1?(5) ??n??； (6) 2n?110?n?1?2???n?1(?1)nn?x;

(7)

?n?1sin(2?x)n!n?; (8)

12n?1?n?1sinnxn (0＜x＜π)．

12n?1n解：（1）这是一个交错级数Un?12n?112n?1, limUn?limn????0,

n??Un???U 由莱布尼茨判别法知?(?1)n?1n?112n?1.

1?又?(?1)n?1n12n?1???n?1111，由lim2n?1?,及?发散，知级数?发散，

n??12n?12n?12n?1n?1n1??n?所以级数?(?1)n?1n12n?12条件收敛.

（2）因为

(?1)?2(?1)n?1?2n??12n?1(?1)n?1?2n?1,故

(?1)?2(?1)n?1n?2n??1212nn?1(?1)12n?1n?1?23n?1??12n?1(?1)n?1?2n?1

????2n

?而?n?1?n12n?收敛，故?n?132n亦收敛，由比较判别法知?n?1(?1)?2(?1)n?1n?2n收敛，所以级数

?n?1(?1)?2(?1)n?1?2n绝对收敛.

（3）因为

sinnxn2?1n2?,而级数?n?11n2?收敛，由比较判别法知?n?1sinnxn2收敛，因此，

36

?级数?n?1sinnxn2绝对收敛.

1πn1n2|(?1)n?1sinπn|?limn??sinπnπn?1

（4）因为limn???而?n?11n2?收敛，由比较判别法的极限形式知，级数?|(?1)n?1n?11πnsinπn|收敛，从而级数

(?1)n?11πnsinπn绝对收敛.

12n （5）因为

?1102n?1?12n?1102n?1?12n?1102n?1?,而级数?n?112n收敛的等比级数

(q?12?);由比值判别法，易知级数?n?11102n?1?收敛，因而??n?1??1?2n?1102n?1??收敛，由比较判??别法知级数?n?112n?1102n?1收敛，所以原级数?n?112n?1102n?1绝对收敛.

（6）当x为负整数时，级数显然无意义；当x不为负整数时，此交错级数满足莱布尼

?茨判别法的条件，故它是收敛的，但因?n?11x?n发散，故原级数当x不为负整数时仅为条件

收敛.

（7）因为

sin(2?x)n!n?1n!

1?由比值判别法知?n?11n!收敛(?limn??(n?1)!1n!??0)，从而由比较判别法知?n?1sin(2?x)n!n收

?敛，所以级数?n?1sin(2?x)n!n，绝对收敛.

（8）因为

1nN单调下降趋于零，且部分和?sinnx有界(0?x?π)，故由迪里黑里

n?1?判别法知级数?n?1sinnxn2收敛.

又

sinnxn?sinnxn?1?cos2nx2n?12n?cos2nx2n?,由于?n?112n发散，因

12n单调趋于零，

37

N?且?cos2nx有界，故由迪里黑里判别法知?n?1n?1?cos2nx2n??收敛,从而??n?1?1?2n?cos2nx??发散,2n?由比较判别法知,?n?1sinnxn发散，所以，原级数?n?1?sinnxn (0?x?π)条件收敛.

注：迪里黑里判别法，若级数?unvn满足条件：

n?1n（1）部分和Sn??i?1ui是有界的;

（2）当n??时，vn单调地趋于零;

?则级数?unvn收敛.

n?1?2． 讨论级数?(?1)n?1n?11np的收敛性(p＞0)．

?解：当p?1时，由于?(?1)n?1n?11np???n?11np?收敛，故级数?(?1)n?1n?11np绝对收敛.

当0?p?1时，由于un?1np?1(n?1)p?un?1, limun?0,由莱布尼茨判别法知交错级数

n????n?1?(?1)n?11np?收敛，然而，当0?p?1时，?(?1)n?1n?11np???n?11np发散，故此时，级数

?n?1(?1)n?11np条件收敛.

综上所述，当0?p?1时，原级数条件收敛;当p>1时，原级数绝对收敛.

?2?2??23． 设级数?an及?bn都收敛，证明级数?anbn及??an?bn?也都收敛．

n?1n?1n?1n?122证：因为0?|anbn|??n|an|?|bn|2?2?12an?212bn

2? 而由已知?a及?bn都收敛，故?n?1n?1n?112?an,?n?12112??12bn收敛，从而??an?bn?收22?n?1?22? 38

??敛，由正项级数的比较判别法知?anbn也收敛，从而级数?anbn绝对收敛.又由

n?1n?1?222?22?(an?bn)?an?2anbn?bn,及?an,?bn,以及?anbn收敛，利用数项级数的基本性

n?1n?1n?1?22?2质知，?(an?2anbn?bn)收剑，亦即?(an?bn)收敛.

n?1n?1

习题9-4

1． 指出下列幂级数的收敛区间：

?(1)

?n?0?xn?n!xn (0!=1)； (2)

?n?0?n!nnxn；

n2(3)

?n?0?2?n； (4)

?n?0?(?1)nx2n?12n?1．

(5)

?n?0(x?2)2?nnn； (6)

?n?02nn(x?1)．

n1解：（1）因为p?limn??an?1an?limn??(n?1)!1n!?limn??1n?1?0，所以收敛半径r???，幂级数

??n?1xnn!的收敛区间为(??,??).

nn（2）因为p?limn??an?1ann!nn?limn??nn?1n!nn11??-1r??e. ?lim?1??e，所以收敛半径?n??pn?1????当x=e时，级数?n?0xn??n?1e，此时

nun?1un?(1?e1n)n，因为(1?1n)是单调递增

n数列，且(1?1n)

nun?1un>1,从而limun?0，于是级数当x=e时，原级数发散.

n??? 类似地，可证当x=-e时，原级数也发散(可证lim|un|?0),综上所述，级数?n??n?0n!nnx的

n收敛区间为(-e,e).

39

（3）因为p?limn??an?1an??limn??12n?1?(n)?212,所以收敛半径为r=2.

当x?2时，级数?n?1?xnn22?nxnn2??n?0?1n2是收敛的p一级数（p=2>1）;

当x=-2时，级数?n?02?n??n?1(?1)?n1n2是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，

故它收敛.

?综上所述，级数?n?0xnn22?n的收敛区间为[-2,2].

（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.

令un?(?1)2nx2n?12n?1，则limn??un?1un?limn??2n?12n?3?x2?x.

2当x?1时，即|x|?1时，原级数绝对收敛.

??n当x?1时，即|x|?1时，级数?|un|发散，从而?(?1)n?0n?02x2n?12n?1发散，当x?1时，

?级数变为?(?1)n?0n12n?1?;当x??1时，级数变为?(?1)n?0n?112n?1;它们都是交错级数，且

满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛.

?综上所述，级数?(?1)n?0nx2n?12n?1的收敛区间为[-1,1].

（5）此级数为（x+2）的幂级数. 因为p?limn??an?1an?limn??n2(n?1)?12.

所以收敛半径r?1p?2，即|x?2?|2时，也即?4?x?0时级数绝对收敛.当

|x?2|?2即x??4或x?0时，原级数发散.

?当x??4时，级数变为?(?1)n?0n1n1n是收敛的交错级数，

?当x=0时，级数变为调和级数?n?1,它是发散的.

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