所以
?f?l(1,1,1)?2?２
33?2?２
33?2?33?23.
３．求函数z?x?xy?y在点Ｍ（１，１）处沿与Ox轴的正方向所成角为?的方向l上的方向导数．问在什么情况下，此方向导数取得最大值?最小值?等于零? 解：??f?x?2x?y,?f?y??x?2y,
?f?x(1,1)?1,?f?y(1,1)?1
??f?l(1?1?co?s,1)?1?s?in?π4π2?sin?(
4)当sin(??当sin(??当sin(??
π4π4π4)=1，时，即??)??1时，即??)?0时，即??时，此方向导数有最大值2; 时，此方向导数有最小值?2;
7π45π443π或时，此方向导数为0.
习题8?7
１．求下列函数的极值：
３
(1) z=x?4x2?2xy?y2?3； (2) z?e2x(x?2y?y2)； (3) z?xy(a?x?y)， a≠0． 解：（1）由方程组：
?z??3x2?8x?2y?0?x ?z??2x?2y?0??y得驻点（0，0），（2，2） 又zxx???6x?8,zxy??2,zyy???2,
在点（0，0）处，B?AC??12?0,又A??8?0，所以函数取得极大值f(0,0)?3; 在点（2，2）处，B?AC?12?0,该点不是极值点.
（2）由方程组
?z??e2x(2x?2y2?4y?1)?0?x ?2xz??e(2y?2)?0??y22得驻点(,?1).
2?e(4x?4y?8y?4),zxy???e(4y?4),zyy???2e又z??xx2x22x2x1，
在点(12,?1)处B2?AC?0?2e?2e??4e22?0,且A?2e?0,所以函数取得极小值
16
f(12,?1)??12e.
（3）由方程组
?z??y(a?2x?y)?0?x ?z??x(a?2y?x)?0??y?a??3a?? 3?,((,),0),a,得四个驻点（0，0），0a.又zxx????2y,zxy???a?2x?2y,zyy????2x.
在点（0，0）处，B?AC?a?0,该点不是极值点. 在点(0,a)处，B?AC?a?0,该点不是极值点. 在点(a,0)处，B?AC?a?0,该点不是极值点.
a?aa?2?0，所以函数在该点有极值，且极值为在点?,?处,B?AC??333???aa?f?,???33?a3222222227,由于A?zxx????23a故
当a?0时，(A?0)，函数有极大值
a327a3,
当a?0时，(A?0)，函数有极小值
27.
２．求函数z?x3?4x2?2xy?y2在闭区域D：?1≤x≤4,?1≤y≤1上的最大值和最小值． [分析]由f(x,y)在D上连续，所以必有最大最小值，又由于f(x,y)在D内可导，所以由f(x,y)在D内部驻点上值与边界上函f(x,y)的最值在D的内部驻点或在D的边界上，数比较可求出f(x,y)的最大和最小值.
?z??3x2?8x?2y?0?x解：由方程?得驻点（0，0），（2，2）
z??2x?2y?0??y（2，2）?D应该舍去，f(0,0)?0（可由充分条件判别知是极大值）.
D的边界可分为四部分：
17
L1:x??1,?1?y?1; L2:y??1,?1?x?4; L3:x?4,?1?y?1; L4:y?1,?1?x?4.
在L1上，f(?1,y)??5?2y?y??(y),?1?y?1.
因为??(y)??2(y?1)?0,所以?(y)单调递减，因而?(?1)??4最大，?(1)??8最小. 在L2上，f(x,?1)?x?4x?2x?1?g(x),?1?x?4
4?3224?322322令g?(x)?0得x1?,x2?.
而min{g(?1),g(x1),g(x2),g(4)}?g(x2)??4422?22727,
{?(1g)x,1(gx)2,g( maxg)?,g(x4)}?144(22?)27227
分别是f(x,y)在L2上的最小值与最大值.
类似讨论可得：在L3上f(4,1)?7,f(4,?1)??9，分别是f(x,y)的最大值与最小值;在L4上f(4,1)?7,f(?1,1)=-8分别是f(x,y)的最大值与最小值.
比较f(x,y)在内部驻点（0，0）与整个边界上函数值的情况得到f(4,1)?7是函数
?4?22??44,?1??f(x,y)在D上的最大值，f???3??22?22727??16.1.
３．求函数z?x?y在条件解：构造拉格朗日函数
1x?1y?1 (x＞０,y＞０)下的条件极值．
?1?1F(x,y)?x?y?????1?
y?x?解方程组
18
???Fx??1?2?0x????F?1??0 ?y2y??11??1??xy得x?2,y?2,??4,故得驻点(2,2)。
又dF?dx?dy??x2dx??y2dy,
d2F?2?x3(dx)2?2?2y3(dy)
?8(dx)2?8x3y3(dy)2
由x?0,y?0知d2F?0，所以函数z?x?y在(2,2)处有极小值z?4. *４．求曲线y?x上的动点到定点(a,0)的最小距离． 解：设p(x,y)为曲线y?x上的任一点，p到定点(a,0)的距离为d，则d2?(x?a)2?y?
此问题可转化为求d2?(x?a)2?y2在条件y?x下的最小值.
先构造拉格朗日函数
F(x,y)?(x?a)2?y2??(y?x)
解方程组
??F?2(x?a)??x??0?2x??Fy??2y???0 ??y?x??得 x?a?12
由题意x?0,故a?12.
于是当a?12时，d2?a?1，最短距离为a?144.
19
又a?12时，最短距离d?|a|.
５．把正数a分解成三个正数之和，使它们的乘积最大．
解：设三个正数为x,y,z,则要求函数u?xyz在条件x?y?z?a(x?0,y?0,z?0)下的极值.
先构造拉格朗日函数
F(x,y,z)?xyz??(x?y?z?a)
解方程组
?F?x???Fy???F?z???x??yz???0?xz???0?xy???0y?z?a
得x?y?z?a3,???a29.
dyz??x(d?xd?y d又? dF?xydz?xdz?yz 由d(x?y?z)?0得dz??(dx?dy)
? dF?2ydxdz?2xdydz?2zdxdy2
?23a[dxdy?(dx?dy)]132
a[(dx?dy)?(dx)?(dy)]?0222??所以当x?y?z?a3时，乘积xyz有最大值u?a327.
６．设生产某种产品的数量f(x,y)与所用甲、乙两种原料的数量x,y之间有关系式f(x,y)＝
0.005x2y，已知甲，乙两种原料的单价分别为1元，2元，现用150元购料，问购进两种原料各多少，使产量f(x,y)最大?最大产量是多少?
解：依题意知要求函数f(x,y)=0.005xy在条件x?2y?150下的极值，为此，先构造拉格朗日函数.
F(x,y)?0.005xy??(x?2y?150),
22解方程组
20
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