微积分（二）课后题答案，复旦大学出版社(8)

（3）Un?nsinπ2n,而limUn?limn??π2sin?π?n??π2?π?0，故级数n?sin发散. ?π2n2n?12n（4）Un?cosnπ2,而limU4k?limcos2kπ?1,limU4k?2?limcos(2k?1)π??1

k??k??k??k???故limUn不存在，所以级数?cosn??n?0?nπ2发散.

?3． 设?Un (Un＞0)加括号后收敛，证明?Un亦收敛．

n?1n?1???证：设?Un(Un?0)加括号后级数?An收敛，其和为S.考虑原级数?Un的部分和

n?1n?1n?1?Sn??Uk?1k，并注意到Uk?0(k?1,2,?)，故存在n0,使

n0k?Sn??Uk?1??t?1At?s

又显然Sn?Sn?1对一切n成立，于是，{Sn}是单调递增且有上界的数列，因此，极限limSnn???存在，即原级数?Un亦收敛.

n?1

习题9-2

1． 判定下列正项级数的收敛性：

?(1)

?n?1?1(n?1)(n?2)n?2n(n?2)?; (2)

?n?1?nn?11;

(3)

?n?1?; (4)

?n?1?；

n(n?5)12(5)

?n?111?an (a＞0); (6)

?n?1a?bn (a, b＞0);

(7)

??n?1??n2?a?n2?a (a＞0); (8)

???n?1?n?12nnn4?1；

(9)

?n?13nnn?2； (10)

?n?1n!;

31

?(11)

?n?1?3?5?7???(2n?1)4?7?10???(3n?1)?; (12)

?n?1n3n；

(13)

?n?1(n!)2n22n??； (14) ???;

n?1?2n?1???n?(15)

?n?12sinnπ3n; (16)

?n?1ncos2n2nπ3．

解：（1）因为敛.

1(n?1)(n?2)?1n2?而?n?11n2?收敛，由比较判别法知级数?n?11(n?1)(n?2)收

（2）因为limUn?limn??nn?1?1?0，故原级数发散.

n?? （3）因为

n?2n(n?1)?nn(n?1)?1n?1?，而?n?11n?1发散，由比较判别法知，级数

??n?1n?2n(n?1)发散.

?（4）因为1n(n?5)?2?1n?n2?13,而?n?11n(n?5)2是收敛的p级数(p??32?1),

n2由比较判别法知,级数?n?11n(n?5)2收敛.

1（5）因为lim1?an??1ann?limn??ann1?a?lim(1?n??11?an)

?1??1 ???2??0?a?1a?10?a?1?

而当a?1时，?n?1?1an收敛，故?n?1?11?an收敛;

当a?1时，?n?11an?=

?1发散，故?n?1n?111?an发散;

32

当0?a?1时lim10，故lim1发散;

n??1?an?1?n??1?an综上所述，当0?a?1时，级数lim1发散，当a?1时，lim1收敛.

n??1?ann??1?an1n （6）因为lima?bbn?lim(1?an??1?limn??a?bnn??a?bn)

bn?1b?1???1?b?1?a?1

??00?b?1??而当b?1时,

?11n收敛，故?收敛;

n?1bn?1a?bn?? 当b?1时，?11?n??1发散，故而由a?0, 0????n?1bn?1a?1,故?1n?1a?bn也发散;

? 当0?b?1时，lim1?1?0故n??a?bna?1发散;

n?1a?bn??综上所述知，当0?b?1时，级数?1发散;当b>1时，级数?1n收敛.

n?1a?bnn?1a?b2 （7）因为limn?a?n2?aann??1?lim2

n??n2?a?n2?an ?lim2a?a?0

n??1?an2?1?an2??而?1发散，故级数22n?1n?(n?a?n?a)(a?0)发散.

n?1n?14n4?3 （8）因为lim2n?11?limn1 n??n??2n4??12n3?而?1?收敛，故级数?n?1n?1n3n?12n2收敛.

?1 33

（9）因为limn??Un?1nUlimn??3n?1n?1(n?1)?2?n?23nn?limn??3n2(n?1)?32?1由达朗贝尔比值判别

?法知，级数?n?13nnn?2发散.

（10）因为limn??Un?1nU?limn??(n?1)n?1(n?1)!?n!nn?lim(1?n??1n)?e?1，由达朗贝尔比值判别

n?法知，级数?n?1nnn!发散.

（11）因为limUn?1nn??U?limn??3?5?7???(2n?1)?(2n?3)4?7?10???(3n?1)?(3n?4)?4?7?10???(3n?1)3?5?7???(2n?1)

?limn??2n?33n?4?23?1,

由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.

（12）因为limn??Un?1nUn?13n?11?limn?1??lim??1，由达朗贝尔比值判别法知，n??3n??n3n3n?级数?n?1n3n收敛.

（13）因为limn??Un?1nU?limn??[(n?1)!]2(n?1)22?2n2(n!)x?12?limn??(n?1)22n?12

由limx??(x?1)22x?12?limx???2(x?1)22x?1?2ln21?limx???22x?1?ln2

2 ?limx???22x?1?2(ln2)?2?0知limn??Un?1nU?limn??(n?1)22n?1?0?1

由达朗贝尔比值判别法知，级数?n?1(n!)2n22收敛.

（14）因为limn??nUn?limn??n2n?1?12??1，由柯西根值判别法知级数?n?1n?????2n?1?n收

敛.

2sinnπ3nsin?limn??π3nn（15）因为limn??2?π3nnπ3?1

34

?而?n?123nn2?π?2?仍收敛，????是收敛的等比级数，它的每项乘以常数?后新得级数?n3n?1n?1?3???n?n由比较判别法的极限形式知，级数?2sinn?1nπ3n收敛.

ncos2nπ3?n2n? （16）因为

2nπ3n而与（12）题类似地可证级数?n?1n2n收敛，由比较判别法

?ncos2n知级数?n?1收敛.

2． 试在(0，+∞)内讨论x在什么区间取值时，下列级数收敛：

?(1)

?n?1x?x?; (2) ?n3??． n?2?n?1n?n解：（1）因为limn??Un?1nU?limn??xn?1n?1x?nn?limn??nxn?1?x

由达朗贝尔比值判别法知，当x?1时，原级数发散;

当0?x?1时，原级数收敛;

?而当x?1时，原级数变为调?n?11n，它是发散的.

?综上所述，当0?x?1时，级数?n?1xnn收敛.

n?1 （2）因为limn??Un?1nU?limn??3?x?(n?1)????2?3?x?n????2?n?x2,由达朗贝尔比值判别法知，当

x2?1即

x?2时，原级数发散;

当0?x2x2?1即0?x?2时，原级收敛.

?3?而当

原级数变为?n，而由limn???知?n发散，综上所述，?1即 x?2时，

n?133n??n?1?3当0?x?2时，级数?n()收敛.

n?1xn2

35

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库微积分（二）课后题答案，复旦大学出版社(8)在线全文阅读。