?F??0.01xy???0x??x?100?x?0?2?F?0.005x?2??0 得 或 （依题意，舍去） ?y???y?25?y?75?x?2y?150??得驻点（100，25），由问题实际意义知，函数的最值一定存在，故当x?100,y?25时，产量f(x,y)最大，最大产量为f(100,25)?1250.
７．某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位价分别为10万元和9万元，若生产x件甲产品和y件乙产品的总成本为：
Ｃ?400?2x?3y?0.01 (3x2?xy?3y2)（万元）
又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时两种产品的产量． 解：依题意销售x件甲产品和y件乙产量的总收入
R(x,y)?10x?9y
总利润L(x,y)?R(x,y)?C(x,y)
?8x?6y?400?0.01(3x?xy?3y)
又知x?y?100，故要求函数L(x,y)在约束条件x?y?100的极值，为此构造拉格朗日函数:
F(x,y)?8x?6y?400?0.01(3x?xy?3y)??(x?y?100)
2222解方程组
?F??8?0.06x?0.01y???0x???Fy??6?0.01x?0.06y???0 ?x?y?100??得唯一驻点(70,30)，由问题的实际意义知，最值一定存在，故当x?70,y?30时，即生产甲产品70件，乙产品30件时，企业获得最大利润，最大利润为L(70,30)?145万元.
习题8?8
1． 将二重积分??f(x,y)dxdy化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D是：
D(1) ︱x︱≤1,︱y︱≤2;
(2) 由直线y?x及抛物线y2?4x所围成； (3) 由x轴及半圆周x2?y2?r2(y≥0)所围成．
21
解： （1）
12??Df(x,y)dxdy???1dx??2f(x,y)dy
21??Df(x,y)dxdy???2dy??1f(x,y)dx
图8-5
?y?x（2）解方程?2得两交点 (0,0),(4,4).
y?4x?故
44x??Df(x,y)dxdy??0dx?xf(x,y)dy
4??Df(x,y)dxdy??0dy?y2f(x,y)dx
4y图8-6
22（3）由x?y?r得x??r?y,y?222r?x(y?0).
22故??f(x,y)dxdy?Drr?x22???rdx?0f(x,y)dy
rr?y22??Df(x,y)dxdy?0dy??r?y22f(x,y)dx
图8-7
2． 交换下列两次积分的次序： (1)?dy?0101yyxf(x,y)dx; (2)?22?x2a02ax?x2dx?0f(x,y)dy;
(3)?dx?f(x,y)dy+0?1dx?f(x,y)dy．
0解：（1）由积分限y?x?表示为
x2y，0?y?1作出积分区域D，如图8-8所示，区域D也可以
?y?x,0?x?1
22
图8-8 图8-9
于交换积分次序得
1x
?（2）由积分限0?y?区域D也可表示为：
a?a?y20dx?x2f(x,y)dy
2ax?x2，0?x?2a，作出积分区域D如图8-9所示
2?x?a?a?y22, 0?y?a
于是交换积分次序得
aa?a?ya?y222?0dy?a?2f(x,y)dx
（3）由已给积分限0?y?x,0?x?1，作出积分区域 D1,由0?y?2?x,1?x?2作出区域D2,D1与D2组成积分区域D，如图8-10所示，D也可表示为
y?x?2?y,0?y?1
于是交换积分次序得：
12?y?(1) ???eDx?y0dy?f(x,y)dx. 图8-10
y3． 计算下列二重积分：
d?， D: ︱x︱≤1,︱y︱≤1;
(2) ???xydxdy,D由直线y?1,x?2及y?x围成；
D2(3) ???(x?1)dxdy,D由y?x和y?x围成；
D３
(4) ???(x?y)dxdy，D : ︱x︱?︱y︱≤1;
D22(5) ???D1ysinyd?，D由y2??2x与y?x围成；
23
(6) ???(4?x?y)d?，D是圆域x2＋y2≤R2；
D(7) ???arctanDyxd?，D是由圆x＋y?4,x＋y?1，直线y?0和y?x所围成的第一象限的
2222
区域； (8)
??Dx?yx?y22d?， D：x＋y≤1, x?y≥1．
22
解：（1）D可表示为：?1?x?1,?1?y?1
x?y11x?y1x?y1-11-1y 故
??Ded????1dy?e?11dx??[e?1]dy=?(e-e)edy
-1?(e?e?1)?edy?(e?e?1y?1)ey1?1?(e?e?1)
2 （2）作出积分区域D如图8-11所示，D可表示为y?x?1,1?y?2
图8-11 图8-12
故
??Dxydxdy?222y?1dy?xydx?22?[1xy33]ydy??(12283y?13y)dy
4 ?(43y?2115y)521?2915
（3）作出积分区域D如图8-12所示，可求得直线y?x与y?x的交点为（-1,-1），（0，0）（1，1），积分区域D可划分为D1和D2，
其中D1：?1?x?0,x?y?x; D2：0?x?1,x?y?x. 于是：
24
3330x31x??D(x?1)dxdy???(x?1)dxdy?D10??D2(x?1)dxdy?1??1dx?3(x?1)dy?x?0dx?3(x?1)dyx ? ???(x?1)(x?x)dx??10?14323?(x?1)(x?x)dx01
(?x?x?x?x)dx432(x?x?x?x)dx?15x?5?200 ?(14x?413x?312x)?(??115x?514x?413x?3122x)210??12（4）作出积分区域D如图8-13所示，D关于x,y轴对称，f(x,y)?x?y对x,y均为偶函数，故
2
图8-13 图8-14
??(xD2?y)dxdy?4??(x?y)dxdy
D1222其中D1:0?x?1,0?y?1?x或写成D1:0?y?1,0?x?1?y. 再用积分区域和被积函数具有关于变量x,y的轮换对称性，得
??xD12dxdy???D1ydxdy
2 所以
??D(x?y)dxdy?8??xdxdy?8?dy?0D122211?y0xdx?8?21103(1?y)dy?323
（5）作出积分区域D如图8-14所示，由?分.积分区域D可表示为D:1yπysinyydy积分出，故应先对x积分再对y积
2πy2?x?y,0?y?ππ22π,于是有
π??Dsinyd???20dy?2ππsinyy2y2π2dx??20sinyy(y?πy)dy?2π2?20sinydy?2ππ?20ysinydy
2 ??cosy|0?2(?ycosy?siny)|0?1?（6）积分区域D：x?y?R用极坐标表示是
22 25
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