第五章 求矩阵特征值和特征向量(4)

表5.6 最大特征值所在区间划分

Pi??? i 0 1 2 3 4 连号数 ?1所在区间 Pi?4? ?1??4,5? 1 -3 5 -3 -11 1 -3.5 8.25 -14.875 19.062 1 3.25 6.5625 -8.328 0.816 1 -3.22 6.3684 -7.626 -0.917 1 0 0 1 Pi?4.5? ?1??4,4.5? Pi?4.25? Pi?4.22? ?1??4,4.25? ?1??4.22,4.25? 由于?1?区间?4.22,4.25?,取该区间内任意一点作为最大特征值的近似值都具有2位有效数字。

5.3.2实对称阵的三对角化

为了用对分法求任意实对称阵A的特征值，首先需要正交变换将其化为三对角矩阵，此过程可以通过Househoulder矩阵实现.

nn定义2 设v?R*?R\\{0}，n阶Househoulder矩阵H?H(v)定义为：

H?I?2vvTvv （5.21）

T其中I为n阶单位阵。

显然，对任意x?Rn，有

vxvvTTHx?x?2v

nT因此向量Hx,x以及v共面。特别地，如果x?R，且vx?0，有Hx?x，于是由在Rn上垂直于

nv的所有向量x组成的超平面H在映射x?Hx下是不变的。最后，对任意x?R

vHx??vx

TT因此，如果x和v之间的夹角用?表示，则v和Hx的夹角等于???。易知：Hx是x关于超平面H的像。由于此原因，映射x?Hx又称为Househoulder反射，或者称为镜面反射(见图5-1)。

x v

H u Hx

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图5-1 镜面反射图

引理1 Househoulder阵是对称且正交的。

证明 因为IT?I, (vTv)T?vTv,(vvT)T?vvT且vTv是一个正数，H的对称性显然。又

HH?HHTT?H2?I?4vvTTvvT?4(vv)TT2(vv)(vv)

TT(vv)(vv)?v(vv)vTTT?(vv)(vv)

T所以

THH?I

因此H为正交阵。

引理2 设1?k?n, Hk为k阶Househoulder阵，则下列分块形式的矩阵

?In?k 0? H??T? （5.22）

0 H?k?仍是Househoulder阵，其中In?k为n?k阶单位阵，0为?n?k??k阶零阵。

定理3 设b,u?R* , b?u, bn证明 取v?b?u?R*，取

n2?u2，则存在Househoulder阵H，使得Hb?u。

H?I?2vvTvv

T且

Hb?b?2?b?u??b?u?TT?b?u??b?u?TTTTb

T ?b?2?b?u?b ?b?u?bb?bu?ub?uunT因为 b2?u2， 所以bb?uu。又因为bu?TTT?buii?1Ti?ub，故

THb?b?2?bb?ub?2?bb?ub?TT?b?u?

?b??b?u??u 17

b1?????????b??22Hb?u??sgn(br?1)br?1???bn?

??0?????????0??注 ur?1的符号由下列原则决定：“使ur?1与br?1异号”，否则，在b?u中第r?1个分量的计算中可能出现两个相近的数作减法。

Househoulder阵H的形状讨论如下： 令

0?????????0?0r??v?b?u??br?1?ur?1?记??Pn?r??br?2???????bn???? ?显然有v22?Pn?r22，且

?0r?T2???0rP?n?r?Pn?r0r,n?rPn?rPn?r22T22H?I?2vvTTPn?rT?vv?I??I??0r,r2??0n?r,r???

Pn?r?Ir,r???0?n?r,r?0r,n?r2Pn?rPn?rPn?r22T?????r?1?n，定理4 设已知向量b的n??r?1?个分量不全为量，则必有一个Householder阵H，

使得Hb的前r个分量与向量b的前r个分量对应相等，而Hb的后n??r?1?个分量都等于零。

证明 设

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?b1??u1?????b2u2????? ??? ??????b??br?， u??ur?

?b??u?r?1r?1????? ??? ???b??u??n??n?令

?bi i?1,?,r??22ui??sign?br?1?br?1???bn?0 i?r?2,?,n??i?r?1

满足u?b?R*且un2?b2。

由定理3知：对于向量b及与其等长的不同向量u，必定存在一个Househoulder阵

H?I?2?b?u??b?u?TT?b?u??b?u?，使得对称阵A经过Househoulder变换后具有以下性质：

性质1 A与HAH相似。

性质2 HAH为对称阵。

性质3 HA的前r行与A的前r行相同。 证明 将H、A分别写成分块形式：

?Ir,r?H??0?n?r,r?0r,n?r2Pn?rPPn?rTn?r22???记???Ar?I 0???;A???C?0 D?B?? An-r?则

?ArHA???DCBDAn?r?? ?性质4 HAH的前r列与HA的前r列相同。 证明

?ArHAH???DC B DAn-r??Ir????00?? D??Ar???DCn?n??

DAn?rD?B定理5 设A?Rsym，则存在Househoulder阵H1,H2,?,Hk ?k?n?2?,使由递推公式

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A1?A

Ai?1?HiAiHi ?i?1,?,k? （5.23）

得到的对称矩阵Ak?1是三对角阵。

证明略。

例3 用Househoulder变换将对称阵

?6?2?A??3??1?254834911??8? 1??7??化为三对角阵。

解 n?4，则至多通过n?2?4?2?2次Househoulder变换可将对称阵A化为三对角阵。 第一步 令A1?A,记

?6???2b1???

?3???1????取

?6?222??2?3?1u1??0??0???6?????14??? ???0???????0???则

?0?2?v1?b1?u1???3??1???14?, v1????22?42.9666

H1?I?2v1v1v1T22?1?0???0??0?0-0.5345 -0.8018-0.26730 -0.8018-0.5811-0.1396??-0.2673?

-0.1396?? 0.9535??0所以

6???3.7417?H1A1H1??0??0?

?3.741713.87561.8079-3.139420

01.80794.2912-6.0079?? -3.1394??A

2-6.0079??2.8512??0第二步 记

??3.741?13.875?b2??1.807???3.139?7??6? 9??4??取

??3.7417?13.8756?u2??22?1.8079??3.1394????0????3.7417??????13.8756? ????3.6228???????0???则

?0???0?, vv2?b2?u2??2?5.4307????3.1394?????1?0???0??0?010000-0.49900.866622?39.3483

H2?I?2v2v2v222T??0?

0.8666??0.4990??0所以

6?? -3.7417???0??0? -3.741713.8576 -3.622700 -3.62278.4058-3.6387??0??A

3-3.6387??-1.2634??0H2A2H2显然，A3为所求对称三对角阵。

用Househoulder变换将对称阵A化为三对角阵算法所涉及程序设计知识较多，这里不再介绍。

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