第五章 求矩阵特征值和特征向量

第五章 求矩阵特征值与特征向量

n阶方阵A的n个特征值就是其特征方程

det(A??I)?0

的n个根，方程A属于特征值?的特征向量x是线性方程组

Ax??x

的非零解。本章讨论求方阵A的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值的对分法。

5.1 幂 法

在实际问题中，矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值，它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法：幂法。

5.1.1幂法的基本思想

幂法是求实方阵A按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是：先任取非零初始向量x0，然后作迭代序列

xk?1?Axk，k?0,1,??? （5。1）

再根据k增大时，xk各分量的变化规律：按模最大的特征向量会愈来愈突出，从而可求出方阵A的按模最大特征值及其特征向量。

先看一个计算实例。 例1 设矩阵

?1A???22?? 1?用特征方程容易求得A的两个特征值为

?1??1，?2?3

下面用幂法来计算，取初始向量x0??1,0?，计算向量序列 xk?1?Axk，k?0,1,??? 具体结果如表5.1所示.

表5.1 幂法计算结果

k

x1(k)T

x2(k)

0 1 0

1

1 2 3 4 5 6 7

考察两个相邻向量对应分量之比：

x1x(2)1 5 13 41 121 365 1093

2 4 14 40 122 364 1094

(1)1?5,

x1x(3)(2)1?2.6,

x1x(4)(3)1?3.154,

x1x(5)(4)1?2.951,

x1x(6)(5)1?3.016，

x1x(7)(6)1?2.994

x2(2)(1)x2?2,

x2x2(3)(2)?3.5,

x2(4)(3)x2?2.857,

x2x2(5)(4)?3.05,

x2(6)(5)x2?2.983,

x2(7)(6)x2?3.005

由上面计算看出，两相邻向量对应分量之比值，随k的增大而趋向于一个固定值3，而且这个值恰好就是矩阵A的按模最大的特征值。这一现象是否有普通性？下面进行具体分析。

5.1.2 幂法的计算公式

为简便起见，设矩阵A的几个特征值按模的大小排列如下：

?1??2?????n

其相应特征向量为u1,u2?,un，并且是线性无关的，因此可作为n维向量空间的一组基。

(0)(0)任取初始向量x0??x1(0),x2,??xn??0，首先将x0表示为

Tx0?a1u1?a2u2????anun

作迭代序列

xk?1?Axk, k?0,1,???

则

x1?Ax0?a1?1u1?a2?2u2?????an?nun

?? ??

xk?Axk?1?a1?1u1?a2?2u2?????an?nun

kkk于是

xkkk????????kn2??1?a1u1?a2??u2?????an??un?

?????1??1???为了得出计算?1和u1的公式，下面分三种情况讨论。 1.?1为实根，且?1??2

2

当a1?0，k充分大时，则有

xk?a1?1u1 xk?1?a1?1k?1ku1??1xk

所以

?1?xi(k?1) ， u1?xk （5.2）

x(k)i2. ?1为实根，且?1???2，?2??3 当a1,a2不为0，k充分大时，则有

xkkkk?a1?1u1?(?1)a2?1u2 xk?1k?1?a1?1u1?(?1)k?1ak?12?1u2

x?k?2?a1?k1u?(?1)k?ak?12?1u2??1xk于是得

xk?2?A2x2k??1xk

(A2??21I)xk?0

所以

?1?(k?2)i?2??1??x??x(k),u1?xk?1??1xk???i? ?1?x(k?2)i?2???2?????x(k)?,u2?xk?1??2xki?3．?1?u?iv,?2?u?iv,?2??3 当k充分大时，则有

xkkk?a1?1u1?a2?2u2

xk?1k?1?a1?1uk?11?a2?2u2 xk?2?ak?21?1u1?a?22?k2u2

于是得

3

5.3）

（xk?2?(?1??2)xk?1??1?2xk?[?k?21?(?1??2)?k?11??k?11?2]a1u1?[?k?22?(?1??2)?k?12??1?k?12

]a2u2?0若令

???1??2??p,?1?2?q

得

xk?2?pxk?1?qxk?0 （5.4）

式（5.4）是以p,q为变量，以xk?2,xk?1,xk的几个分量为系数的矛盾方程组。

用最小二乘法解矛盾方程组（5.4），求出p,q，然后再解一元二次方程

x?px?q?0

2得到的两个根便是?1、?2的近似值。

再由

[A?(?1??2)A??1?2]xk?0

2可得

(A??1I)(A??2I)xk?(A??1I)(xk?1??2xk)?0

和

?A??2Ι??A??1Ι?xk综上所述，可得

?1??p2?12P2??A??2Ι??xk?1??1xk??0

?4q

u1?xk?1??2xk

?2??p2?12p?4q

2（5.5）

u2?xk?1??1xk

在实际应用幂法时，可根据迭代向量各分量的变化情况来判定属于哪种情况。

若迭代向各分量单调变化，且有关系式xk?1?cxk，则属于第1种情况;若迭代向量分量变化不单调，但有关系式xk?2?cxk，则属于第2种情况；若迭代向量各分量变化不规则，但有关系式

xk?2?pxk?1?qxk?0，则属于第3种情况。

5.1.3 幂法的实际计算公式

4

当k??时，若?1?1，则x的分量会趋于无穷大；若?1?1，则x的分量会趋于零。因此会使计算机出现上溢或下溢现象。为了防止溢出，可采用如下迭代公式

mk?max(xk)?xk yk?xkmk?xkxk??

k?0,1,???

（5.6）

xk?1?Αyk

y0?(1,1,?,1)

T式（5.6）的更详细的带计算过程的计算公式为：

n xi(k)??aj?1ijyj(k?1) i?1,2,?,n

yi(k)?xi(k)mk mk?||xin(k)（5.7）

||??maxxii(k)?xp(k) k?1,2,?

s??(mi?1kyi(k)(k)?xi)??

T y0?(1,1,?,1)

注：当xk(p)?0时，按模最大特征值为正，故计算s时取?xi(k),当xk(p)?0时，取?xi(k)。

由式（5.6）知

xk?1?Ayk?2?Axk?2xk?2??Ayk?3xk?3?2?Axk?3xk?2?2xk?3

?? ? ?Axk?2?k?1x0?xk?3???x0 （5.8）

?在式（5.8）两端同乘以A，得

Axk?1?因为

xk?Ayk?1?Axk?1xk?1??Ax0xk?2?kxk?3??x0 （5.9）

????Axk?1xk?1??

将式（5.8）、（5.9）两端分别取范数后，代入上式得

5

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