第五章 求矩阵特征值和特征向量(3)

?I，则有 若用逆幂法求A???I)x(A???xk,k?0,1,??? k?1?I按模最小特征值和相应特征向量为 则可求得A??(k)?xi???i??i???(k?1) xi???ui?xk?1~于是得矩阵A在?附近特征值和相应特征向量为

(k)?xi????i????i???(k?1) xi???ui?xk?1

5.2.5 用逆幂法求在?附近的特征值的计算实例

例2 用逆幂法求矩阵

?2?A?0??0??22?10???1 ?2??~在2.93附近的特征值及相应特征向量(精度ep?10?5)。

解 对矩阵A?2.93I作三角分解

??0.93?A?2.93I?0??0???1???0??0?T取x0?(0,0,1),由迭代公式

?1?0.93?1???1??0.93???1?0.930?

?0??1?1??0.93??0.93?00110.93??0???0.93??0??0??1??0??yk?xkxk?；Lzk?yk；Uxk?1?zk k?0,1,???

得计算结果如表5.4所示。

表5.4逆幂法的计算

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k xi(k)0 1 2 12.692 31 -12.803 85 12.837 58 12.837 58 0.988 68 -0.997 37 1.000 00 0.988 68 -0.997 37 2.072 44 3 14.278 43 -14.267 63 14.266 27 14.266 27 1.000 00 -0.999 24 0.999 15 1.000 00 -0.999 24 2.073 60 1m3 0.000 00 7.959 06 1.0000 00 -7.401 92 1.000 00 6.883 79 7.959 06 1.000 00 -0.930 00 0.864 90 1.000 00 -0.930 00 1.864 90 mk 1.0000 00 0.000 00 yi(k) 0.000 00 1.000 00 0.000 00 0.000 00 1.000 00 z(k)i 由表5.4知，(A?2.93I)?1的按模最大的特征值为m3，即A?2.93I的按模最小的特征值为所以矩阵A的特征值为

1m3，

+2.93≈3.000 36，相应的特征向量为(1,-0.999 24,0.999 15)T

5.3实对称阵特征值的对分法

首先讨论三对角对称矩阵的情形，再讨论一般对称矩阵的情形。

5.3.1 求实三对角阵特征值的对分法

1．实对称三对角的Sturm序列 设实对称三对角阵

?c1?b?1??C???????b1c2b2b2c3b3??bn?2?cn?1bn?1?????? ??bn?1?cn??其中bi?0(i?1,???,n)，用p(?)表示C??I的i阶主子式，并规定p0(?)?1,b0?0,则

pn(?)?det(C??I)为矩阵C的特征多项式，且容易验证

p0(?)?1

p1(?)?c1??

p2(?)?(c2??)p1(?)?b1p0(?) (5.17)

2? ?

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pi(?)?(ci??)pi?1(?)?bi?1pi?2(?)

2称多项式序列{p0(?),p1(?),???,pn(?)}为矩阵C的Sturm序列。 Sturm序列具有以下性质：

性质1 pi(?)?0(i?1,?,n)仅有实根。

性质2 相邻两个多项式pi?1(?)和pi(?)无公共零点。 ~?)p(??)?0。 性质3 设?是pi(?)?0的根，则 pi?1(?i?1 性质4 pi(?)?0(i?1,?,n)的根全是单根，并且 pi(?)?0的根把pi?1(?)?0的根严格地隔离

开来。

~性质5 设1?i?n?1,且?是pi(?)?0的根，则当正数?足够小时，pi?1(?)和pi(?)在区间

?,????)内同号。 ???,??)内同号, p(?)和p(?)在区间(?(?ii?12．序列在某点的连号数

~?时的连号数p(?)，由以下规则确定 序列Sturm在{p0(?),p1(?),???,pn(?)}在???i~~~~（1） 若pi?1(?)和pi(?)同号，则从pi?1(?)到pi(?)有1个连号数；若符号相反，则无连号数。

~?)?0，则以p(?（2）pi(?)的符号作为它的符号。 i?1~（3）p(?)={p0(?),p1(?),???,pn(?)}的连号数。

如：p(?2)??1,0,?1,0,1?的连号数=2。 3．Gerschgorin定理 定义1 设 A?(aij)?Rn?n，定义

i?1,???,n （5.18）

nDi?{zz?aii?ri}为第i个Gerschgorin盘（或称圆盘），其中ri??j?1j?iaij为Di的半径。

定理1（Gerschgorin定理或称圆盘定理）设A?(aij)?RD?D1?D2???Dn内。

n?n，则A的全部特征值都在区域

证明 当z?D内，即对i?1,?,n，有z?aii?ri。所以矩阵A?zI是严格对角占优的，而严格对角占优矩阵是非奇异的，即det(A?zI)?0，故z不是A的特征值。换句话说，方阵A的全部特征

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值都属于D。

由Gerschgorin定理立即可得 推论1 矩阵A的特征值满足

nmin?i?min(aii?ii?j?1j?iaij)

（5.19） nmax?i?max(aii?ii?aij)j?1j?i推论2 设C为实对称三对角方阵，令

m?mincj?bj?b?j?n?j?1?,M?maxc1?j?n?j?bj?b1j?1?则C的所有特征值都属于区间?m,M?。

4.求实对称三对角阵的对分法

定理2 矩阵C在区间[??,??)内特征值的个数等于?(?~)。 证明略。

例1 求三对角矩阵

??2100??C??1?210????01?21? ??001?2???在??2,0?内特征值的个数。

解 首先写出C的Sturm序列

P0????1，

P1?????2??，

P2??????2???P1????P0??? P3??????2???P2????P1??? P4??????2???P3????P2???

再分别计算Sturm序列在-2和0两点的连号数

?(?2)??1,0,?1,0,1}?2

?(0)??1,?2,3,?4,5}?0所以在??2,0?上有???2????0??2个特征值。

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5.20）

（利用定理2和Gerschgorin定理，由对分法就可将矩阵C的特征值进行隔离，具体步骤如下： 1. 求矩阵C的Sturm序列；

2. 根据Gerschgorin定理求出C的全部特征值的上界M和下界m； 3. 将区间?m,M?对分，取中点?1?m?M2，若???1??k，则矩阵C在区间??1,M?有k个特征

值，在区间?m,?1?内有n?k个特征值，再分别计算?m,?1?及??1,M?的中点?2，分别计算???2?，?3，???3?，继续下去，总可将?m,M?分成若干个小区间，使得矩阵C在每个小区间上至多有一个特征值，

这样就可以将C的n个特征值隔离开了。

4. 继续对有根区间使用对分法，就可求出满足给定精度的特征值的近似值，这就是求实对称三对角方阵特征值的对分法。

例2 用对方法将三对角方阵

?1?2C???0??0?212002120??0? 2??1??的特征值进行隔离，并求出其最大特征值，使它至少有2位有效数字。

解 设C的四个特征值的次序为?1??2??3??4，则?i??m,M?，由圆盘定理可得特征值的上界，下界分别为

M?max?cj?bj?1?bj1?j?4?m?min?cj?bj?1?bj1?j?4???5

???3

即矩阵C的特征值属于区间[?3,5]。

C的特征多项式序列为

P0????1;P1????1??

Pi?????1???Pi?1????4Pi?2??? ?i?2,3,4?

（1）分别计算各点的连号数，具体结果见表5.5

表5.5各点连号数的计算 i 0 1 2 3 4 P??? p(?3) 1 4 12 32 80 Pi(?1) 1 2 +0 -8 -16 Pi(1) 1 +0 -4 -0 16 ii连号数 4 3 2 1 0 Pi(3) Pi(5) 1 -2 -0 8 -16 1 -4 12 -32 80 因此，区间??3,?1?,??1,1?,?1,3?,?3,5?各有C的一个特征值，这样就将C的特征值进行了隔离。 （2）最大特征值?1??3,5?，计算?1列表如下。

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