基于稀疏表达的图像恢复算法研究(7)

附录

译文：

基于稀疏和冗余表达研究图像去噪问题

摘要：

我们处理的图像去噪问题，就是从一张给定的图像中除去附加的零均值高斯白噪声。采取的办法是基于稀疏及冗余表达。使用K-SVD算法，我们得到一个方法来有效地描述图像内容。有两个训练选项可以考虑：利用含噪图像本身，或通过高品质图像数据库中的一组图像块训练。由于K-SVD 在处理小图像噪点时是有限的，我们把它展开成任意图像大小通过定义一个预先给图像强制让图像中的每个位置上的噪点稀疏开来。我们将展示如何通过贝叶斯处理法得到一个简单有效的降噪算法。这就得到了一个消噪性能相当好的算法。

关键词：贝叶斯重建，学习算法，离散余弦变换（DCT），图像去噪，K-SVD，匹配追踪，最大后验（MAP）的估计，冗余，稀疏表达。

一.引言

在本文中，我们针对传统图像去噪问题：将一个理想的图像x加入一个添加了零均值的白色，均匀的高斯噪声v，标准差为?。从而处理后的图像y为

y?x?v （1） 我们希望设计一个算法可以从y中消除噪声，尽可能恢复为原来的图像x。

图像去噪问题是重要的，不仅是因为它提供的明显的应用服务。作为最简单的反问题，它提供了图像处理的想法和技术进行评估的一个方便的平台。确实，过去50年的众多成果大概都得力于对这个问题众多不同的看法和观点。这从许多不同的看法点问题。统计估计，空间自适应滤波器，随机分析，偏微分方程，变换域的方法，花键和其他逼近理论方法，形态分析，顺序统计，等等，都是众多研究探讨这个问题的方向。在本文中，我们不打算提供对这一问题的进行所有大量工作。相反我们打算集中于找到一个高效的有前途的图像去噪问题特殊的逼近方法：利用在已有训练样本上的稀疏和冗余表达。

在过去10年，利用冗余表达和稀疏作为消除信号中的噪声的推进力量已经吸引了一大批研究者的注意。起初，人们考虑了稀疏的一元微波系数，导致著名的收缩算法[1]-[9]。使人们把目光转向冗余表达的一个原因是希望得到转换不变性。同样，随着对处理图像时规则可分1-D微波是不适当的逐渐认识，一些新的定制的多尺度和定向的冗余表换被提了出来，包括曲波[11], [12],轮廓波[13], [14]，楔波[15]，带波[16], [17],和可操纵的曲波[18], [19]。与此同时，匹配追踪[20], [21]的引入和基础追踪降噪[22]使得将处理图像降噪问题作为一个冗余样本的直接稀疏分解技术。所有这些作为当今被认为是现有的最佳图像去噪方法（见[23]-[26]对一些具有代表性的作品）。 虽然这里的工作也是建立在相似的稀疏性和冗余的概念上，但从近期同步的研究基于实例的恢复工作中可以看出，它是采用不同的的角度来看的。在用贝叶斯逼近的方法处理图像中的一般反问题时，一张预先的图像是必要的。一般地，这些在处理时要预先选择一些简化的假设上，如空间平滑，低/最大熵，或在一些变换域上稀疏。虽然这些共同的方法依靠预先图片一个数学表达式的猜想，不知为何在此基础上的实例的技巧建议研究之前的图像。举例来说，假定一个平滑空间建立在事先给定的特定结

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构的马尔可夫随机场，仍可衍生出的过滤器应用于这图像上，并且强大的功能用在加权过后这些过滤器的结果[27]-[29]。

当预先学习的想法结合了稀疏性和冗余，我们将样本用来以设置参数为目标。我们打算从实例中学习基元组，而不是一组预先选定的基础函数的展开如同曲波和轮廓波得出的。在训练工作中，我们考虑两个方案：1）从噪声图像本身的噪声中训练算法或2）训练从一组高质量图片中取得的噪声集合。

学习基元组的想法对一组训练噪声图片产生出的稀疏表达已经得出了一系列成果[30]-[37]。在本文中，我们打算K-SVD算法[36]，[37]，因为它对这个任务的简单性和效率性。此外，由于其结构，当给定图像的训练已经完成时，我们将看到训练和去噪是如何自然地融合成一个共同连贯和迭代的过程。

由于基元组学习在处理小图像噪声时有效，于是便出现了一个难点：我们如何将它应用在一般的任意大小的图像？在这项工作中，我们打算将一个预先的全局图像中每个位置的噪声强制使它稀疏（包括重叠部分）。这与一个类似的想法谋合，出现在[29]，将一个局部基于MRF预先图片转化为一个全局的。我们定义一个最大后验概率（MAP）的估计作为一个已定义的全局惩罚项极小。它的数值解将得出一个简单的重复的稀疏编码和接近涉及研究[38]–[40]的思路并概括它们的平均算法。

在考虑可行的全局和多尺度的选择去噪方案时（例如，基于曲波，轮廓波和可操纵小波），看起来似乎在处理小噪声中有很大的丢失。有没有可能得到一个可比去噪性能基于局部稀疏的方法？在这方面，在[23]中的图像降噪是非常重要的。除了在那篇文章中描述了特殊新颖的高效率的算法，Portilla和他的合著者还清楚地得出了一组比较试验使得如何评估图像除噪算法及与其他算法比较标准化了。我们利用这些精确的实验并展示新算法有类似的性能，并且经常，与他们工作中得到的去噪能力表现相比较哪个更好。

总之，本文新颖之处包括我们利用局部的稀疏和冗余表达作为全局贝叶斯目标的因素的方法，这部分第二部分有所描述，沿其形成的迭代数值解法。相比使用预先选定的方法，对去噪工作进行方法训练的想法更新颖。正如前面提到过的，当对噪声图像直接进行训练已经完成时，全面的去噪训练算法融合成一个由图像去噪步骤组成的迭代过程，并接着进行算法更新。这在第三部分将详细叙述。在第五部分，我们将展示一些实验结果以表明这个算法的有效性。

二.从局部到全局贝叶斯重建

在这一部分，我们首先介绍稀疏和冗余如何使用开始慢慢得到除噪算法的表达。我们这样做通过引入Sparseland模型。一旦这样做了，我们将讨论图像噪声上的局部处理怎样转换为一个贝叶斯重建架构上的预先全局的处理。

A.对图像噪声的Sparseland模型

我们考虑图像图像块大小为n?n像素，令作列向量x?Rn。对Sparseland模型的构建，我们需要定义一个基元组大小为D?Rn?k（k?n时，冗余）。这时，我们假定这个基元组是已知确定的。该模型表明每一个图像块x，可以通过这个基元组稀疏表达出来。例如，

??argmin?0 s.t. D??x (2)

??20

附录

该方案确实确保稀疏，?0??n符号?表示?中非零项数。基本思路是从样例图像考

0?虑的每个图像块可以表示成冗余基元组D的一个基元线性足额。

这种模型应该替换掉D??x，明确地要求允许一个有界表示误差，D??x2??使得更精确。此外，需要定义必须的稀疏性强度，加入一个条件??L??n，表明稀疏

0?表达用的只是实例中每个图像图像块的基元组的L个基元。或者，给出一个概率表征，定义概率得到一个?非零的表达作为一些情况的衰减函数。考虑到两者之间的简单

0?选择，(?,L,D)在适当的位置，我们的模型很好的界定。

现在假设x确实属于(?,L,D)Sparseland。考虑它的一个噪声图像，y，加入一个零均值高斯白噪声，标准偏差为?。去除这个图像图像块的噪声的MAP估计建立在解决

??argmin?0 s.t. D??y2?T (3)

??2T由?，?确定。去除了噪声的图像因此由x?D? 给出。注意上面的最佳化过程可以改为

????argminD??y2???0 (4)

??2因此约束项成为惩罚项。适当选择?，这两个问题是等价的。我们从现在开始将使用这种选择性的术语，因为它使得稍后介绍的部分更简单地理解。

虽然这个问题在一般情况下是很难解决的。匹配和基础追踪的算法可以相当有效的用在[20] - [22]得到一个近似的解决办法。最近的研究工作确定了这些近似方法可以相当准确的如果这些解决办法是在[41]，[42]中足够稀疏。这样，我们将主要使用标准正交匹配追踪（OMP），因为它简单[21]，有效。

B.从局部分析到预先全局

如果我们想要处理大点的图像X，大小为N?N(N??n)，我们仍把注意力放在使用上述描述的模型，办法之一是用一个大的基元组重新定义该模型。事实上，当用这个模型使用轮廓波和曲波变换建立起基元组，缩放是简单和自然的[26]。 但是，当我们坚持使用特定的固定的和小基元组D?Rn?k，。因此，一个自然的问题就出现了，关于首先用这样的小基元组。两个需要注意的原因是：1）当训练发生了（我们将在下一节中展示），只有用小基元组才可以构成，进而继续后面工作，2）一个小基元组意味着由此产生的算法，简化了所有的图像处理。

我们下一步要叙述当处理大型影像时使用这种小基元组可能的方法。一种启发的方法是在大小为n?n更小的图像块上应用并并列显示结果。这样做，有形物体可能会出现在块边界。也可以尝试研究图像块重叠部分并结果达到平均水平，以防止这些区块物体，正如事实上[38]-[40]实行的一样。正如我们下面想看到的，对这个问题一个系统全局的方法得到一个全面的算法中以此选择作为一个核心因素。

如果我们对未知的大型图片X的认识基于每个图像块都属于(?,L,D)?Sparseland

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模型事实上，得到了充分表示，那么自然推广上述MAP估计更换（4）为

22???? ??ij,X??argmin?X?Y2???ij?ij??D?ij?RijX (5)

0?ij,X??ijij2在这个表达式中，第一项是对数似然全局，要求之间的处理过的图像Y和它的已去噪（未知）图像X相接近。把它作为约束，此惩罚项X?Y22?Const.?2而这反映了?和?之间的直接关系。

第二项和第三项是原先的图像用来确保构造的图像X中，每个位置上的大小为n?n的图像块xij?RijX（对i,j求和）在有限误差内有一个稀疏表达。类似的转换也已经由Roth和Black在处理一个预先MRF[29]中尝试过了。

基元组Rij是一个n?N基元组，是从图像提取出的块。对一个N?N图像，对i,j求和包括(N?n?1)2 项，考虑X中所有大小为n?n的图像图像块重叠部分。对于系数?ij，必须依位置而定，使得遵从一组约束条件D?ij?xij22?T。

C.数值求解

当下面的基元组D假定已知，（5）中提及的惩罚项有两种未知数：每个位置上的稀疏表达?ij，以及整体输出图像X。我们不采用同时寻找两个数，而是建议用块极小化算法从初始值X=Y开始，寻找最优值我们提出?ij。这样做，我们得到极小化任务单调减到更小值，每一个

???ij?argmin?ij?ij0??D?ij?xij （6）

?ij2?2处理一个图像图像块。使用标准正交匹配追踪[21]解决这个很容易，一次加一个原子，当误差D?ij?xij小于T时停止。这样，?ij的选择就得到了控制。因此，这个阶段如

22滑动的窗口稀疏编码阶段一样运行，在每个n?n块上同时运算。

给定所有的?ij，我们现在可以固定它们的值然后开始更新X。回到（5），我们需要解出

X?argmin?X?YX22???D?ij?RijXij2?2 (7)

这是一个简单的二次项，它有一个相似的解决形式

X?(?I??RRij)(?Y??RD?ij) （8）

Tij?1Tijijij??这个相当繁琐的表达，它说的是已经将去完噪的图像块平均化了，通过将原有噪声图片平均轻松地得到了。上述表达中基元组的逆是一个对角阵，所以，（8）的计算可以在每一个基础像素上进行，按照前面描述的滑动窗口稀疏编码的步骤。

到目前为止，我们已经看到，已得的图像去噪算法要求小图像块上的稀疏编码，以及这些结果的平均值。但是，如果（5）的最小化值是我们的目标，那么这个进程应该继续。给定新的X，我们可以重复稀疏编码阶段，这时从已经去噪图像上的图像块着手。一旦做到这一点，应该计算一个新的平均值，等等，等等。因此，我们正是取得Guleryuz在他的工作获得的---通过稀疏表示迭代去噪，我们可以把这里提出的分析作

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为一个严格的方式来证明这种迭代方案[38]-[40]。

三.基于稀疏性和冗余的样本

迄今为止所有讨论都建立在假设基元组D?Rn?k已知上。我们当然可以对使用某个基元组做一些有根据的推测。事实上，以下Guleryuz的研究，DCT似乎是一个可行的选择[38] - [40]。事实上，我们使用冗余的离散余弦变换如[36]所采用的可以做得更好。然而，问题 仍然是：我们能不能在训练的基础上选择更好的D？我们现在讨论这一方案。我们先从简单的（低效的）方案开始，将从高质量图像中得到的一组图像图像块训练基元组，然后再转向讨论对含噪图像本身的训练方案。 A.训练图像图像块样本

M给定一组图像图像块Z??zj?j?1，每个大小为n?n，并假设它们出自一个特殊的(?,L,D)?Sparseland模型，我们将估计这个模型参数，(?,L,D)。搜寻基元组D通过最小化

?(D,??j?j?1)??[?j?j0?D?j?zj2] （9）

M2j?1M正如前面所述，上面的表达式试图寻找Z中每个实例的稀疏表达，并获得一个较小的

表达误差。?j的选择规定了这两种力量该怎样加权，使得它们中的一个完全约束。例如，约束

?j?j?L意味?j的特征值，而要求?jD?j?zj00??2则得其它值。

K-SVD期望得到一个迭代算法用来有效地处理上述问题[36], [37]。再次采用块下

?j?M降的思路，D和?的计算就分开了。假设D已知，（9）产生的惩罚项简化为一组Mj?1稀疏编码运算，就如（6）中所看到的非常相似。因此，可以再次使用OMP获得近似最

?j?M优值（注意OMP是一种近似算法，因此最小值不能保证）表达向量? j?1 假设这些表达向量是固定的，K – SVD每次将基元组每列更新一次。随着结果产

生，这种更新是最优的，使得满足SVD可以在剩余数据基元组上运算，只在使用这个

?j?M)的值可以确保在每个基元组基元每次更基元的块上计算。通过这种方式，?(D,?j?1新都是下降的，并随着更新，表达系数也随着改变。（详情见[36]和[37]）。

当进行去噪工作时，一个重要的步骤就是选择样本来训练。是否真的有通用的基元组适合所有图像呢？如果有，用哪个样本可以找到它？在接下来下一节的实验将为我们给出结论，虽然合理的较好的基元组确实可找到，寻求先进的消噪性能要求更复杂的模型，使用若干基元组在一定条件下转换---我们不探讨这方面的工作。

此外，由于（9）中最小的惩罚项是一高度非凸可行的，局部最小的解决方案有可能萦绕在我们心头。因此，一个好的初始化值可能会有很大的帮助。在我们的我们已开始的使用冗余DCT的实验，证明是一个好的基元组选择。同样我们也能够运用在迭代次数较少的运算中。

另一个令人困惑的问题是冗余因数k/n，如何我们应该如何选择k，D的列数呢？有最佳的选择吗？在本文中，我们不探讨这个重要的问题，只依经验选择一个能很好满足要求的值。将来的工作中需要探讨这个问题。 B.对含噪的图像进行训练

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