基于稀疏表达的图像恢复算法研究(2)

西安交通大学本科毕业设计（论文）

计方法等，都是研究探讨这个问题的方向，并延其形成了许多典型的去噪方法，例如我们常见的高斯滤波去噪，均值滤波去噪，中值滤波去噪，边缘保持滤波去噪。其中高斯滤波和均值滤波是线性滤波，即输出像素是输入像素邻域像素的线性组合；而中值滤波和边缘保持滤波均为非线性滤波。

近年来基于稀疏和冗余表达的图像信号去噪方法引起了人们的关注。在本文中我们同样采用这种思路，利用基于基元组的稀疏和冗余表达研究图像噪声模型。之所以用到冗余表达是因为我们希望在处理图像去噪问题过程中能保持转换不变性，与此同时我们引入匹配追踪技术[8]可以很方便地优化问题求解过程中的稀疏表达系数[9]-[12]。

在研究学习基于稀疏表达的图像去噪模型时，我们的基本思想是首先将图像分解为图像块的集合，对于每一个小的图像局部块，将其从上而下，从左至右依次排列成一个列向量，将图像块对应向量x用基元组D的线性组合进行表达：

x?D? （1-4）

并约束线性表达系数?的稀疏性。

基于该思想建立起来的经典的稀疏表达模型：

X??argmin??xl?yl2?xl?D?l2???lXl?220 ?， （1-5）

该模型中X?为欲求的去噪图像，xl和yl分别表示原始图像X和噪声图像Y的第l个局部块，D表示基元组，?表示稀疏表达系数，?和?分别为系数。此模型是通过定义关于X的后验概率分布并进行优化而引出的能量模型。由于模型中第一个和第二个惩罚项中重构误差使用l2范数测度，该范数能够很好的建模高斯噪声，因此利用这个模型能够很好地去除高斯噪声。

1.2 本文主要研究工作

（1）针对高斯噪声，研究和学习经典的基于基元组的稀疏线性表达去噪模型，并实现它的数值解法。

在建立好模型后，便需要对这个模型的数值求解进行算法研究，使之具有实用性。对于模型的数值求解的难点，关键是基元组D和稀疏表达系数?处理。从后文中我们可以看到使用OMP算法可以在每个局部块上求解出稀疏表达系数?。对于基元组D，离散余弦变换（DCT）是一个相当不错的选择，还可以考虑通过使用简单和高效率的K-SVD算法[6]-[7]自适应地学习得到基元组D。在训练学习时，我们考虑两个方案：1）从噪声图像本身中训练基元组，或2）从一组高质量图片中的图像块中训练。我们实现上述模型的数值解法，并应用于自然图像的高斯噪声去噪问题。

（2）研究如何改进经典去噪模型使得模型可以更有效地去除椒盐噪声。 由于椒盐噪声的特性，使之与高斯噪声差别很大，因此我们不能够再用先前的基于稀疏表达的经典去噪模型对椒盐噪声去噪。从实验中我们可以看出，采用经典模型

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1 绪论

会使得到的结果非常不理想。通过分析，考虑到图像像素点或者完全没有受到噪声影响或者受到影响很大使得其完全变成过亮点或者过暗点，应用l2范数测度，将使得学习到的基元表达系数受到椒盐噪声的严重影响，影响去噪精度。因此我们在研究改进工作时，考虑引进对图像像素点的噪声可能性的权重函数，并建立带权的稀疏表达模型，减少噪声点对稀疏表达模型的影响。

本文的内容结构如下：

第2章——介绍如何建立经典的基于稀疏表达的图像去噪模型，并实现该模型迭代数值求解算法，包括如何使用OMP算法求解稀疏表达系数，及如何使用K-SVD算法进行基元组更新；

第3章——主要讨论如何对经典的稀疏表达去噪模型进行改进，使之针对椒盐噪声的特性可以达到更好的去噪效果。我们提出解椒盐噪声的带权稀疏表达模型，并提出其迭代优化策略。

第4章——在这章里我们将展示一些实验结果以表明我们建立的模型及算法的有效性，在这一章节中我们将看到利用建立起的经典模型对高斯噪声去噪有着相当不错的效果，并且改进后的模型在处理椒盐噪声去噪时比经典模型有更好的表现。

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2 基于稀疏线性表达的高斯噪声去噪模型

本章我们主要研究基于稀疏线性表达的高斯噪声去噪模型。高斯噪声是指它的概率密度服从高斯分布（即正态分布）的一类噪声。高斯噪声的形式为：

?1pz(z)?e2??(z?u)22?2， （2-1）

这里均值?一般取为0，标准差为?。

我们现在学习与研究基于稀疏表达的高斯噪声图像模型及其数值求解算法。该类算法和模型的基本思想是：首先将原始图像划分为一个个小的图像块，然后将原始图像表达为局部的基元线性组合，并约束这个线性组合系数的稀疏性，从而建立解决去噪问题的能量函数，在极小化过程中将通过OMP和K-SVD算法优化该能量函数。

本章的主要内容有两个方面，一是沿着基于基元组的稀疏线性表达的思路，介绍如何建立一个高斯图像去噪模型，使得这个模型针对高斯噪声有着良好的去噪效果；二是在模型建立的基础上，我们需要学习与研究此类模型的算法求解过程，主要采用正交匹配追踪（OMP）和K-SVD的方法。

2.1 模型介绍

我们的目的是要建立一个基于稀疏线性表达的高斯噪声去噪模型，为方便问题分析，我们先从小的图像块上着手。再将其推广到较大的图像上。

2.1.1 局部块上建立去噪模型

首先我们考虑从原图X中取出的一个大小为n?n像素的图像块，将块中的像素点按照从上到下，从左到右的原则排成一个列向量，令其作为列向量x?Rn。下来我们来构建一个稀疏表达模型，先定义一个冗余的基元组D?Rn?k（k?n时，冗余）。我们假定这个基元组是已知确定的。此时，通过这个基元组我们可以用下面的稀疏表达模型来表示这个图像块x。如下：

???argmin?0 s.t. D??x (2-2)

?上式中使用l0范数对线性组合系数?的稀疏性进行约束。符号?0表示?的非零项个数。从这个模型中我们可以看到每个图像块都可以表示成冗余基元组D的一个线性组合。

对稀疏表达系数??的稀疏强度我们需要作出定义，令??0?L??n，这表明用稀疏线性组合来表达图像块x最多只使用了基元组D中的l个基元。此外，对上述模型我

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2 基于稀疏线性表达的高斯噪声去噪模型 们采用D??x2??来表示重构误差会更精确。

现在我们考虑图像块x的一个噪声图像y，加入了一个零均值的高斯噪声，标准偏差为?。要去除图像块y中的噪声，需要对y做MAP估计，由于是高斯噪声，重构误差我们采用l2范数对其测度，于是问题变为

argmin?0 s.t. D??y2?T （2-3）

?2T由?，?确定。上述优化过程还可以改为

???argminD??y2???0 （2-4）

?2使约束项变为惩罚项，适当选择?，这两个问题是等价的。于是去噪图像x?就可以由x??D??给出。这样我们就得到了局部块上基于稀疏线性表达的高斯去噪模型。

2.1.2 图像整体上建立去噪模型

这一节我们将推广局部块上的高斯去噪模型，使之适用于整幅图像上。 假如我们要处理的未知图像X大小为N?N(N??n)，仍然可以从图像X中取出图像块。我们可以做如下处理：假定要取出的局部图像块大小为n?n，将一个大小为n?n的窗口放在图像X中按照从上至下，从左至右滑动，滑动距离视需要而定。这样处理后我们便得到一系列的局部块?xl?，这样做块边界可能会出现重叠，不过我们可以在重叠部分做平均得到最后结果。

接下来我们推广上述局部块上的高斯去噪模型，基元组D?Rn?k已知，对图像X做MAP估计（2-4）变为

??l??,X??argmin??l,XX?Y2??D??RlX2l22????l0 （2-5）

lRl是一个n?N基元组，xl?RlX。

上式也可表述为

??l?,?xl??????argmin???xl?yl?l,xll?????x??b??? ?ll0? （2-6）2i?2?2ili2在（2-5）中，第一项是整体X对数似然，要求之间的处理过的含噪图像Y和它的已去噪（未知）图像X相接近。作为约束，此惩罚项X?Y222?（C?）,这反映了?和?之间的关系。第二项和第三项说明每个大小为n?n的局部块xl?RlX在有限误差内都有一个稀疏表达。

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2.2 模型优化求解

在建立上述模型过程中，我们一直都假设基元组D是已知的。对于基元组D，采用离散余弦变换（DCT）确实是一个相当不错的选择。当然我们还可以考虑通过使用简单和高效率的K-SVD算法自适应地学习得到基元组D。在训练学习时，我们考虑两个方案：1）从噪声图像本身中学习基元组；2）从一组高质量图片中的图像块中学习。如果使用DCT基元组，模型的优化求解大致分为两个部分，分别为求稀疏表达系数??l???和去噪图像?xl?；如果自适应地学习基元组，那么问题迭代求解过程中还应包含基元组的更新。

2.2.1 采用DCT基元组优化模型

假定基元组D已知，（2-6）模型的优化求解分为两个部分，分别要求每个局部块上的稀疏表达系数??l?和整体去噪图像?xl?。我们从初始化X?Y开始，寻找最优值

????l??。

问题（1）

??l?

?2???argmin??xl???libi???l?ll?i2??? （2-7） 0???在每一个图像块上，采用正交匹配追踪（OMP）对稀疏表达系数求解。使用标准正交匹

2配追踪，一次加一个基元，当误差xl???libi小于T时停止。因此，这个阶段又称稀

i2疏编码阶段，随着滑动的窗口在每个n?n块上同时运算。

得到了所有的稀疏表达系数??l?后，我们现在可以固定它们的值然后开始求解

??xl??。于是有

问题（2）

X??argmin?X?Y2??D?l?RlX2 （2-8）

Xl22对这个问题数值求解，我们可以建立能量函数E(X)，极小化E(X)即其中，

?E(X)?2??X?Y2??D?l?RlX?X?Xl=2?(X?Y)??2(?Rl)(D?l?RlX)

l?E(X)?0。 ?X22

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