高数下册知识点罗列(5)

??Q?P?Px,ydx?Qx,ydy???dxdy? ??????L???x?y?D???cos?x?y??2y?dx??2ycos?x?y??3x?dy???dxdy?

22??LD??cos?x?y2??2ydx?2ycos?x?y2??3xdy???dxdy

?D?????0?y?sinx ???cos?x?y2??2ydx?2ycos?x?y2??3xdy?，D:??L??0?x????????cos?x?y2??2ydx?2ycos?x?y2??3xdy

????????0??sinx0dydx??cos?x?02??2?0dx?2?0cos?x?02??3xd0

L???????sinxdx??cosxdx?2。

00?? 例2、计算

??x?2?y?dx??x?siny?dy，?: y?1?x2上 ??1,0???1,0?一段弧。

2??Py??1?P?x,y??x?y???Qx?Py?2 [解]: 1）?Q?1Qx,y?x?siny????x?2）添线L:y?0,?x:1??1?与?围成封闭曲线利用格林公式（注意方向）

??Q?P?Px,ydx?Qx,ydy???dxdy? ??????L???x?y?D????L?x2?y?dx??x?siny?dy????2dxdy??2?DD?2????

???x2?y?dx??x?siny?dy????2dxdy????x2?y?dx??x?siny?dy? ??L??1????x?y?dx??x?siny?dy??????x2?0?dx??x?sino?d0? ????1?2x3????3

4、 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：

?11????2。 31）曲面?的方程为z?z(x,y)，Dxy为曲面?在xOy面上的投影区域，则

21

???f(x,y,z)dS?Dxy??22f[x,y,z(x,y)]1?zx(x,y)?zy(x,y)dxdy

2）曲面?的方程为x?x(y,z)，Dyz为曲面?在yOz面上的投影区域，则

???f(x,y,z)dS?Dyz??2f[x(y,z),y,z]1?xy(y,z)?xz2(y,z)dydz

3）曲面?的方程为y?y(x,z)，Dxz为曲面?在xOz面上的投影区域，则

??f(x,y,z)dS???f[x,y(x,z),z]?Dxz21?yx(x,z)?yz2(x,z)dzdx

例1、计算

dS2222，被z?h,?0?h?a?截出顶部。 ?:x?y?z?a??z?a?x?y,Dxy?222[解]：1）?:z???x,y?x2?y?a?h2222???0???a2?h2?Dxy:?

??0???2? 2）

dS?????zDxy??1?2x?1???2a2?x2?y2a2?x2?y2????2y?????2a2?x2?y2????dxdy ??22??a2?h2?dxdy1?a??d??....... ?a??2??2222??00a?x?ya????Dxy5、 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：

??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy

?1）曲面?的方程：z?z(x,y)，Dxy为曲面?在xOy面上的投影区域，则 （上侧取“+”，下侧取“?”） ??R(x,y,z)dxdy????R[x,y,z(x,y)]dxdy，

?Dxy（曲面?上点的法向量n与z轴夹角为锐角，这一侧作为上侧，而另一侧即为下侧）； 2）曲面?的方程：x?x(y,z)，Dyz为曲面?在yOz面上的投影区域，则 ，后侧取“?”） ??P(x,y,z)dydz????P[x(y,z),y,z]dydz（前侧取“+”

?Dyz（曲面?上点的法向量n与x轴夹角为锐角，这一侧作为前侧，而另一侧即为后侧）； 3）曲面?的方程为y?y(x,z)，Dxz为曲面?在xOz面上的投影区域，则 ，左侧取“?”） ??Q(x,y,z)dzdx????Q[x,y(x,z),z]dzdx（右侧取“+”

?Dxz 22

（曲面?上点的法向量n与y轴夹角为锐角，这一侧作为右侧，而另一侧即为左侧）； 例1、 计算

22，其中：柱面x?y?1被z?0,z?3截下的第一卦限zdxdy?xdydz?ydzdx????内的部分（取前侧）。

[解]：

??zdxdy?0（投影为0）

?1300??xdydz??dy??1?ydz?3?1?x2dz?3?2101?y2dy?3?， 43?， 4??ydzdx??dx??0130101?x2dx?所以I?0?3?3?3???。 4426、高斯公式：设空间闭区域?由光滑的曲面?所围成，函数P(x,y,z),Q(x,y,z),

R(x,y,z)在?上具有连续偏导数，则

???(??P?Q?R??)dxdydz???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ?x?y?z?其中?是?的整个边界曲面的外侧。 例1、

???1?x?ydydz??y?z?dzdx??1?z?xdxdy,?:z?1?x222?2?y2,??1?z?0?上侧。

[解]：1）添加?1:z?0（方向取下侧），则???1围成闭区域?内侧。利用高斯公式

?P??1?x?y2?Px?y2??222 ?Q?y?z??Qy?1?Px?Qy?Rz?1?x?y

?R??1?z?x2?R?x2??z 2）

???(??P?Q?R??)dxdydz???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ?x?y?z?dyd?z?0其中?是?的整个边界曲面的外侧。?

21?xy?????y2?zdz?1x???d2??1?zxd?xdy1???????2??2xy dxdydz ???2?0?1???0?d???2?? 1??dz?d??????3??2??12????1?x?y2dydz??y?z2?dzdx??1?z?x2dxdy

? 23

??2222 ????????1?x?ydydz??y?z?dzdx??1?z?xdxdy?

3????1???2?222?????0?0????1?0?xdxdy??????033??Dxy???52?cos???d?d???? ???01?12?z?y2例2、设有向曲面?是由曲线? (0?z?2)绕z轴旋转而成的曲面的外侧（即朝着z轴负

x?0?方向的一侧）。

1）写出?的方程和?上任一点处的单位法向量； 2）计算积分I?24(1?y)dzdx?(8y?1)zdxdy。 ??? [解]：1）?的方程为z?x2?y2(0?z?2)，

??上任一点处的单位法向量为n?2）

?z,z,?1?xyzx?zy?122??2x,2y,?1?4x?4y?122

（1）令?1:z?2取上侧，则???1围成闭区域?内侧。利用高斯公式

?P?0?Px?0??2 ?Q?4?1?y???Qy??8y?Px?Qy?Rz?1

??R?8y?1R?8y?1zz???? （2）

???(??P?Q?R??)dxdydz???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ?x?y?z??Q?z其中?是?的整个边界曲面的外侧。?

24(1?yd)zd?x(8?y1)zdx?d?y???x????PyR??1?dx?d?y?d?z?

dxdydz ??2?0?2???0??d??2??

dz??d???2??2???2 ??4(1?y)dzdx?(8y?1)zdxdy?2?????4(1?y)dzdx?(8y?1)zdxdy?

??1????2?? ?2?????0??8y?1??2dxdy??2????x?x2?y2?2?22?y?2??2dxdy??2?

24

注：

2x?y?2??8ydxdy：区域关于X轴对称，被积函数f?x,y??8y关于Y是奇函数

2 故

x2?y2?2??8ydxdy?0

注：高斯公式：填面 格林公式：填线

1、 熟记下列结论： 1）级数

级数

??un?1?n收敛的必要条件：级数

?un?1n收敛?limun?0

n?? 注：如limun?0?级数

n???un?1?n发散.

?首项?2）几何级数?axn??1-公比?发散???收敛1 P-级数?p??n?p??n?1nn?1?发散?x?1x?1;

p?1 p?1 25

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