高数下册知识点罗列

微分方程 1、可分离变量微分方程： 例1 设

??x0f?t?dt?11f?x??且f?0??1，求f?x? 22[解]：?x011f?t?dt?f?x??，?22??x01??1?1f?t?dt??f?x????f?x??f??x?

2?2?2?? 即y?11y???dy??2dx?lny?2x?c，由f?0??1?c?0?lny?2x 2y 所求的f?x??e2x。

22222例2 求xydx?xy?x?y?1dy?0 的通解

??y2?1x2[解]：xydx??xy?x?y?1?dy?0??dy?2dx

yx?122222y2?1x2y2 ??dy??2dx???lny?x?arctxa?nc

yx?122、一阶线性微分方程：y??p?x?y?q?x? 或

x??p?y?x?q?y?

?p?x?dx??p?x?dxdx?c?或 其通解为：y?e??q?x?e?????p?y?dy??p?y?dydy?c?。 qye x?e????????例1、求?y?lnx?dx?xdy?0的通解 [解]：?y?lnx?dx?xdy?0?dyy?lnx1lnxdy1lnx????y???y? dxxxxdxxx?p?x?dx??p?x?dxdx?c?求得通解 qxe 为一阶非齐次线性微分方程。由公式y?e????????11dx?lnx?dx?1?xx y?eedx?c?????xlnx?x?c?

x??x?

1

3、齐次方程：

dy?y????? dx?x?ydydt?t?y?xt??t?x 代入原微分方程得 xdxdxydt11???t???dt??dx求出通解后将?t代入即得原

xdx??t??tx 其求解步骤为：令

t?x方程通解。

22例1：求 x?3ydy?2xydx?0 通解

??[解]：x?3y?222xy???dy?2xydx?0?dydxx?3y22?dxx3y??? dy2y2x2dxdtdtt3dt31?t?t?y，代入原方程?t?y 令 x?ty，? ????y?dydydy22tdy2t22t11d?1?t?112dt?dy???dy?ln1?t??lyn? ????2???2y31?ty33?1?t???cln 34、可降阶的高阶微分方程： 1）y?n??f?x?：逐步进行n次的不定积分，即可得到一含有n个独立常数的通解。

方程特点：右端仅含有自变量x的函数。 例1：模拟卷一中填空12题

2）y???f?x,y??：?p??x??f?x,p?得一关于变量x,p的一阶微分方程，如求出其通

y??p?x?p?x????x,c1??y????x,c1??y????x,c1?dx。方程特点：右端不显含未知函数y。

例2：求xlnx?y???y?通解

[解]：此为y???f?x,y??型，令y??p,y???p?代入方程xlnx?y???y??xlnx?p??p ?11dp??p?xlnxdx?lnp?lnlnx?lnc1?p?c1lnx dy?c1lnx??dy??c1lnxdx?y?c1?xdxlxn?x??c 2 ?

5、 二阶常系数线性微分方程：y???py??qy?f?x?， f?x??0称为齐次的， f?x??0称为非齐次的。

2

y???py??qy?f?x?,?f?x??0?通解结构：y?Y?y*，

其中Y 是对应的齐方程y???py??qy?0的通解，y*是y???py??qy?f?x?的一个特解。

y??xkQm?x?e?x

?0，如果?不是特征方程r2?pr?q?0的根?， 如果?是特征方程r2?pr?q?0的单根 其中 k??1?2，如果?是特征方程r2?pr?q?0的重根?

例1、求y???y??2y?2ex的通解

解：1）对应的齐次方程的特征方程为：r2?r?2?0?r,r2?2 1??1 对应的齐次方程的的通解为Y?C1e?x?c2e2x2）pm?x??2,e?x(C1,C2?R)

?ex?m?0,??1不是特征根，故设y???y??2y?2ex的特解为

x代入方程得：A??1 ， y*??ex Aexx???y*?xkQex?Ae,*y?Ae,*y???m?x3）微分方程2y???y??y?3x的通解为y?C1e?x?c2e2x?ex例2、求y???3y??4y?xe的通解

2x(C1,C2?R)

?4x[解]：1）对应的特征方程为r2?3r?4?0?r?c2ex 1??4,r2?1?Y?c1e 2）f?x??xe,pm?x??x,m?1,??2不是特征方程的根，故设方程的特解为

2x y??xQm?x?ek?x?Q1?x?e2x??ax?b?e2x，代入y???3y??4y?xe2x中

17,b?? 636 得6ax?7a?6b?x?6a?1,7a?6b?0?a? 故方程的解为y?Y?y?c1e*?4x?c2ex?1?6x?7?e2x。 36

6、微分方程应用题

例1设某曲线上任一点的切线与横坐标交点的横坐标等于切点纵坐标的二倍，且曲线过点 ?2,1?，求该曲线方程。

[解]：设所求曲线为y?f?x?，在任一点处切线方程为Y?y?f??x??X?x?

3

???????Y?y?fx?Y?0?xf??xy??y?x??2yX??x?X??y???f??x?，由题意?

??y?2??1Y?0?? x??p?y?dy?ydxdx1?p?y?dydy?c? ?x?e? ??2y?x?y?2y??x?2??q?y?e?y?dydyy?? ?x?e1??dyy?1????ydy?2edy?c??????????2y???dy?c??y??2lny?c?，由y?2??1

y??c?2?所求的曲线方程为x?y??2lny?2?。

例2：期中考试解答题2

空间解析几何与向量代数

????????则M1M2的坐标表示式为：

1、已知M1?x,1y,z1?，M2?x2,y2,z2?1????????M1M2??x2?x1,y2?y1,z2?z1?

???????? M1M2?M1?模

2为

???M22?????? x2??x12?????????? M1M2与三个坐标轴正向夹角的余弦(即方向余弦)分别

为

x2?x1cos???????????M1M2y2?y1cos???????????M1M2z2?z1cos???????????M1M2 注：cos2x2?x1?x2?x1???y2?y1???z2?z1?y2?y1222

?x2?x1???y2?y1???z2?z1?z2?z1222

?x2?x1???y2?y1???z2?z1?222 ??cos2??cos2??1

4

?????????????????M1M2?x2?x1y2?y1z2?z1??与M1M2平行的单位向量：????????????????????,?????????,??????????

M1M2?M1M2M1M2M1M2????????????????????M1M2?x2?x1y2?y1z2?z1与M1M2同向的单位向量：??????????????????,????????,????????M1M2?M1M2M1M2M1M2? ??cos?,cos?,cos??

??? ???????????????????M1M2?x2?x1y2?y1z2?z1??与M1M2方向相反的单位向量：????????????????????,?????????,??????????。

M1M2?M1M2M1M2M1M2?????2、 设向量a??ax,ay,az?,b??bx,by,bz?则：

??（1）a?b?axbx?ayby?azbz；

???ijk???ax?ayaz（2）a?b?axayaz??,?bbbxz?ybxbybz?azax,bzbxay??? by?? ?aybz?azby,azbx?axbz,axby?aybx；

?????? 注：与a，b同时垂直的向量为：?a?b

???????ayaza（3）a与b平行的充要条件：a//b?a?b?0?x??；

bxbybz?????? a与b垂直的充要条件：a?b?a?b?0?axbx?ayby?azbz?0；

???????axbx?ayby?azbza?b（4）a与b夹角的余弦：cosab????；

222222abax?ay?az?bx?by?bz???????????a?b（5）向量b在向量aa?0上的投影：Prj?b?bcosab??。

aa????????（6）以a与b为邻边的平行四边形面积

??????S?a?b?a?b?sin???aybz?azby,azbx?axbz,axby?aybx?，?为向量a与b夹角。

（7）以Aax,ay,az,Bbx,by,bz,Ccx,cy,cz为顶点的三角形面积：

?????? 5

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