高数下册知识点罗列(4)

5）D:?

2?a2?0???ax2?y2d?????e???d??d? ， ??e????0??????2?D?0???a?a?x2?y2?2?26）D:?d????e??d??d? ?， ??e?0??0?0???D??2

?0???a?a2?x2?y23?7）D:?d????e???d??d? ?， ??e?0??0?0???D?3??0???2acos??2acos??x2?y2?22?8）D:?，ed??e??d??d? ??????0?0??0???D??2?0???2asin??2asin?2?x2?y2d??????e???d??d? 9）D:??，??e???0?????2D??23）交换积分次序：根据已知的积分次序画出区域图，然后进行交换。 适用于已知给出的积分次序计算太烦或无法计算出积分时或证明题。 例1、

?20?2yf?x,y?dx?dy

????y2??y2?x?y?2? [解]:1) DY:???1?y?2?x??y?x? 2）Dx:?2??0?x?4

例2、证明：

ayb?x?a??20?x??2yf?x,y?dx?dy?4fx,ydy??x?dx ?0????y2????2??0dy?e0f?x?dx???a?x?eb?x?a?f?x?dx

0a [证明] ：1）DY:?

?0?x?y?

?0?y?a16

2）Dx:?

?x?y?a?

?0?x?ayaaa00x0?a0dy?eb?x?a?f?x?dx??dx?eb?x?a?f?x?dy??eb?x?a?f?x?y???a?x?eb?x?a?f?x?dx

0a??dx

ax

例3、计算：

?dx?sinydy

0x112 [解]:1) Dx:??x?y?1?

0?x?1??0?x?y?

?0?y?1 2）DY:?

1112?ysiny2dx?dy?1siny2xydy dxsinydy?0?0?x?0??0???0?1111221 ??ysinydy??cosy0??cos1

0222??

2、 三重积分 1）f?x,y??1????dv?V??.

2)三重积分的计算：直角坐标系；柱面坐标系（适用于投影区域为圆、圆环、扇形及其一部分）。 例1、

???xdxdydz ?:x?y?z?1与三坐标面围成的区域。

??0?z?1?x?y? [解]:1) ?:?0?y?1?x

?0?x?1?2) 例2、

???xdxdydz??dx??011?x0dy?21?x?y0xdz

???zdxdydz ?:x??y2?z2?1与z?0围成的区域。

?0?z?1??2?? [解]:1)化为柱面坐标 ?:?0???1

?0???2??? 17

2）

???zdxdydz???2?0?1?1??2??zdz??d??d? ??0??0???? 3）或截面法：方法参见教材或笔记

??1?2 ???zdxdydz?????dxdy?zdz????1?z?zdz?

004????Dz?1例3、

????x?2?y2?dv ?:x2?y2?2z与z?2围成的区域

??2?2?z?2?? [解]:1)化为柱面坐标 ?:?0???2

?0???2???? 2）

2??2?2??2222x?ydv??dz?d????0??0????d? ???????2?? 3）或截面法：方法参见教材或笔记

????x?2?y?dv??220??2?2??2z?d??dz 222x?ydxdyzdz????d????????0?????0??0??????Dz?3、 二重、三重积分的几何应用 1）

??kd????kdxdy?kSDDDD

例1、

2222 D:r?x?y?R;r?R围成的区域。 2d??? [解]:

??2d??2S?2??RD2?r2?

2） 若曲顶柱体是由：z?z1?x,y?;z?z2?x,y?围成，?z1?z2?，则

曲顶柱体的体积为：V? 或V????zD?2?z1?d?，其中D是z1,z2交线在xoy上投影所围的区域。

12???dv，其中?是z?z?x,y?;z?z?x,y?围成闭区域。

x2?y2围成的立体体积（含z轴部分）

22例1、求由z?6?x?y,z? 18

22?z?6?x?y? [解]:1）利用二重积分：先求 ?交线在xoy上投影所围的区域D，

22??z?x?y22 消去z并化为极坐标6?x?y?x2?y2?6??2?????2,???3（舍）

?0???2 ?D:?

0???2?? V????6?xD2?y?x?yd???222?2?0?2?6??2?????d??d??32?。

????0?36?x2?y22??2?6??2???3） 利用三重积分：V????dv?????22dz?dxdy??????dz??d???d? x?y00????????D

曲线积分与曲面积分

1、 第一类曲线积分（关于弧长的曲线积分）：

?Lf?x,y?ds??f?x,y?L?dx???dy?22,ds??dx???dy?22

注：上下限必须是上限大于下限！ 例1、求

?L2xyds, L:x在第一象限内圆弧。 ?y2?a2 [解]:1）L:??x?acost

?y?asint2? 2）

?Lxyds??acost?asint?0?dacott???dasint?22??2?0a3acostsintdt?

23

2、第二类曲线积分（关于坐标的曲线积分）：

?P?x,y?dx?Q?x,y?dy

L1） 第二类曲线积分与路径无关的充要条件：

?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy与路径无关??P?Q???y?x??Pdx?Qdy?0?Pdx?Qdy

L是某一函数全微分。

19

2）计算：必须注意的是下限对应L的起点，上限对应L的终点。

?x?t?232例1、计算?ydx?zdy?xdz，其中?是曲线?y?t上由t1?0到t2?1的一段弧。

??z?t3?[解]:

??ydx?zdy?xdz??(t)dt?tdt?tdt??(t2)2dt?t3?2tdt?t3?3t2dt

00133??(3t4?3t5)dt?(t5?t6)056102312232331?11。 10例2、计算

??e?y????sinx?dx??xey?cosy?dy，?:y?sinx上自??,0???,1?一段。

?2?y??Py?ey?P?x,y??e?sinx???Py?Qx，积分与路径无关，故取如下路径 [解]:1）?yy?Q?x,y??xe?cosy?Qx?e?2）路径：L?LAB?LBC,其中LAB:y?0,(x:??3）

?2)，LBC:x??2,(y:0?1)

???LLAB??0LBC

1 ???e2??????????sinx?dx??xe?cos0????ey?sin?d??ey?cosy?dy

02?2?2??0? ???21???y ysinxdx???e?cos?yd02??3、格林公式：

??Q?P?Px,ydx?Qx,ydy????????dxdy， L：取正向。D是 ?L???x?y?D?1?xdy?ydx? ??L?2 封闭曲线L所围成的区域。 1） 利用格林公式求区域D面积：SD?2） 当

L?P?x,y?dx?Q?x,y?dy不易求出时，添线利用格林公式

例1、计算

??cos?x?y??2y?dx??2ycos?x?y??3x?dy，?:y?sinx从

22???,0???一段弧。 0,?0?P?x,y??cos?x?y2??2y?Py?2?2ysin?x?y2??????Qx?Py?1 [解]:1）?22??Q?x,y??2ycos?x?y??3x??Qx?3?2ysin?x?y?2）添线L:y?0,?x:0???与?围成封闭曲线利用格林公式（注意方向）

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