2012年上海市中考数学试卷(4)

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www.jyeoo.com ∴四边形BEFG是平行四边形 点评： 本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质，特别是第二问如何利用已知比例式进行转化是解决此题的关键． 24．（12分）（2012?上海）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．

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考点： 相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 专题： 压轴题． 分析： （1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）关键是证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解； （3）如解答图，通过作辅助线构造一对全等三角形：△GCA≌△OAC，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值． 2解答： 解：（1）二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0）， ∴，解得， 2∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x+6x+8； （2）∵∠EFD=∠EDA=90° ∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°， ∴∠DEF=∠ODA ∴△EDF∽△DAO ∴∵∴=， ∴， ． ， ∴EF=t． ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 同理， ∴DF=2， ∴OF=t﹣2． （3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x+6x+8， ∴C（0，8），OC=8． 如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点． ∵∠ECA=∠OAC， 在△GCA与△OAC中， ， ∴△GCA≌△OAC， ∴CG=4，AG=OC=8． 如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中， ∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+OM=OA+EF=4+t， 由勾股定理得： ∵AE=AM+EM=在Rt△AEG中，由勾股定理得： ∴EG=== 2222； ∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=OC﹣EM=8﹣（t﹣2）=10﹣t，CE=CG+EG=由勾股定理得：EF+CF=CE， 即解得t1=10，t2=6， ∵当t=10时，CF=10﹣10=0， ∴不合题意舍去， ∴t=6． 另解：延长CE至x轴交于点K． ∵∠ECA=∠OAC（已知） ∴AK=CK（等角对等边） 设OK=x，则AK=4+x． 在Rt△COK中，CO=8，OK=x 根据勾股定理得，CK=∴根号64+x=4+x， 解得x=6， ∵△DEF∽△CKO（两角对应相等） ∴EF：KO=DF：CO， 即0.5t：6=10﹣t：8， 解得t=6．

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2222+4 ， =， 菁优网

www.jyeoo.com 点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和待定系数法求二次函数解析式等多个知识点，难度较大．第（3）问中，涉及到无理方程的求解，并且计算较为复杂，注意不要出错． 25．（14分）（2012?上海）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）当BC=1时，求线段OD的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

考点： 垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理． 专题： 压轴题；探究型． 分析： （1）根据OD⊥BC可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长； （2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再根据D和E是中点可得出DE=（3）由BD=x，可知OD=，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，DF=； ，EF=x即可得出结论． 解答： 解：（1）如图（1），∵OD⊥BC， ∴BD=BC=， ∴OD==； （2）如图（2），存在，DE是不变的． 连接AB，则AB==2， ∵D和E分别是线段BC和AC的中点， ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com ∴DE=AB=； （3）如图（3），连接OC， ∵BD=x， ∴OD=， ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2+∠3=45°， 过D作DF⊥OE． ∴DF==，由（2）已知DE=， ∴在Rt△DEF中，EF==， ∴OE=OF+EF=+= ∴y=DF?OE=?? =（0＜x＜）． ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 点评： 本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等． ?2010-2014 菁优网

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参与本试卷答题和审题的老师有：HJJ；CJX；lantin；gbl210；sd2011；HLing；zhxl；sjzx；zcx；ZJX；未来（排名不分先后） 菁优网

2014年12月12日

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