2012年上海市中考数学试卷(3)

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www.jyeoo.com ∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5， ∴△ABC的面积为9， ∵AE=2， ∴， 解得：AB=3． 故答案为：3． 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用． 17．（4分）（2012?上海）我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 4 ． 考点： 三角形的重心；等边三角形的性质． 专题： 压轴题；新定义． 分析： 先设等边三角形的中线长为a，再根据三角形重心的性质求出a的值，进而可得出结论． 解答： 解：设等边三角形的中线长为a， 则其重心到对边的距离为：a， ∵它们的一边重合时（图1），重心距为2， ∴a=2，解得a=3， ∴当它们的一对角成对顶角时（图2）重心距=a=×3=4． 故答案为：4． 点评： 本题考查的是三角形重心的性质及等边三角形的性质，即三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 18．（4分）（2012?上海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为

．

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www.jyeoo.com 考点： 翻折变换（折叠问题）． 专题： 压轴题． 分析： 由在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，利用三角函数，即可求得AC的长，又由△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，AD⊥ED，根据折叠的性质与垂直的定义，即可求得∠EDB与∠CDB的度数，继而可得△BCD是等腰直角三角形，求得CD的长，继而可求得答案． 解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1， ∴AC===， ∵将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处， ∴∠ADB=∠EDB，DE=AD， ∵AD⊥ED， ∴∠CDE=∠ADE=90°， ∴∠EDB=∠ADB==135°， ∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°﹣90°=45°， ∵∠C=90°， ∴∠CBD=∠CDB=45°， ∴CD=BC=1， ∴DE=AD=AC﹣CD=﹣1． 故答案为：﹣1． 点评： 此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）（2012?上海）

．

考点： 二次根式的混合运算；分数指数幂；负整数指数幂． 分析： 利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可． 解答： 解：原式= = =3． 点评： 此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将各式进行化简是解题关键． 20．（10分）（2012?上海）解方程：

．

考点： 解分式方程． 分析： 观察可得最简公分母是（x+3）（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解答： 解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣3），得 x（x﹣3）+6=x+3， 2整理，得x﹣4x+3=0， 解得x1=1，x2=3． ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com 经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根， 故原方程的根为x=1． 点评： 本题考查了分式方程的解法．注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根． 21．（10分）（2012?上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=．

（1）求线段CD的长； （2）求sin∠DBE的值．

考点： 解直角三角形；直角三角形斜边上的中线． 分析： （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AB的长，即可求出CD的长； （2）由于D为AB上的中点，求出AD=BD=CD=据此解答即可． 解答： 解：（1）∵AC=15，cosA=， ∴cosA==， ，设DE=x，EB=y，利用勾股定理即可求出x的值，∴AB=25， ∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点， ∴CD=（或12.5）； （2）方法一： ∵BC=AB﹣AC=400 AD=BD=CD=， 222∴设DE=x，EB=y， ∴， 解得x=， ∴sin∠DBE===． 方法二： ?2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com ∵AC=15，cosA=， ∴AB=15÷=25， ∴BC=20，cos∠ABC==， ∵DC=DB，∴∠DCB=∠ABC， ∴cos∠DCB=cos∠ABC=， ∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°， ∴cos∠DCB=即=， ， ∴CE=16，∴DE=CE﹣CD=16﹣12.5=3.5， ∴sin∠DBE===． 点评： 本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，综合性较强． 22．（10分）（2012?上海）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量）

考点： 一次函数的应用． 分析： （1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域； （2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可． 解答： 解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b， 将（10，10）（50，6）代入解析式得： ， 解得：， y=﹣x+11（10≤x≤50） （2）当生产这种产品的总成本为280万元时，

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www.jyeoo.com x（﹣x+11）=280， 解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）， 故该产品的生产数量为40吨． 点评： 此题主要考查了一次函数的应用，根据总成本=每吨的成本×生产数量得出等式方程求出是解题关键． 23．（12分）（2012?上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．

（1）求证：BE=DF； （2）当

=

时，求证：四边形BEFG是平行四边形．

考点： 平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）证得△ABE与△AFD全等后即可证得结论； （2））利用=得到，从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，最后证得BE=GF，利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形． 解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠ABC=∠ADF， ∵∠BAF=∠DAE， ∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF， 即：∠BAE=∠DAF， ∴△BAE≌△DAF ∴BE=DF； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC， ∴△ADG∽△EBG ∴= = 又∵BE=DF，∴== ∴GF∥BC （平行线分线段成比例） ∴∠DGF=∠DBC ∵BC=CD ∴∠BDC=∠DBC=∠DGF ∴GF=DF=BE ∵GF∥BC，GF=BE

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