四川省成都市[七中]2011届高三数学“二诊”模拟检测 理(2)

22、定义在?1,???上的函数f(x)满足：①f(2x)?cf(x)(c为正常数）；②当2?x?4时，f(x)?1?x?3.试解答下列问题：

（1）设c?2,方程f(x)?2的根由小到大依次记为a1,a2,a3,???,an,???,试证明：数列

?a2n?1?a2n?为等比数列；

（2）①是否存在常数c，使函数的所有极大值点均落在同一条直线上？若存在，试求出c的所有取值并写出直线方程；若不存在，试说明理由；②是否存在常数c，使函数的所有极大值点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上？若存在，试求出c的所有取值并写出抛物线方程；若不存在，试说明理由。

用心 爱心 专心

6

成都七中2011级二诊模拟试卷（理科参考答案）

一．选择题 BDACD ADCBA DC

二．填空题 13、3:4:5 14、甲车 15、1或三．解答题

17、解：（1）f(x)?sin2x?cosx(2sinx?3cosx)?1?sin2x?cos2x?1

?2sin(2x?22或2 16、①③④

?4)?1(x?R)????????????????3分

由2k???2?2x??4?2k???2(k?Z)得：k??3?8?x?k??3?8,k???8(k?Z)

](k?Z)????6分

∴函数的最小正周期：T??，单调递增区间是：[k??（2）由a,b,c成等差数列，得：2b?a?c

a?c?(?acca22?8a?c2∴cosB?2a?c?b2ac2222)22ac?3?2)?12

?3a?3c?2ac8ac?18(3

∴B?(0,B2?3]??????10分

∴f(??8)?2sinB?1(x?R)的值域为(1,62?1]??????12分

18、解：设Ak表示数学组评上k人(k?0,1,2)，设Bi表示语文组评上i人(i?0,1,2)。

k2k12?ki1i12?ii12P(Ak)?C2()(), P(Bi)?C2()()?C2()。

332221112212（1）P?P(A1?B1)?P(A1)?P(B1)?C2()()C2()???4分

33291135（2）P?1?P(A0?B0)?1?P(A0)?P(B0)?1?()2()2???8分

32362（3）由题意 ?~B(2,)

324214 ∴期望 E??2??，方差D??2?????11分

333392答：（1）这两个组各有1人评上的概率是（2）这两个组至少有1人评上的概率是

9； ；

3536用心 爱心 专心 7

（3）数学组评上的人数?的期望E??2?19、解：（1）由题意知：∠AOC=

?223?43，方差D??2?,∠BOC=

?323?13?49。??12分

,∠AOB=

?2，∴AO⊥面BOC

∵OA=OB=OC=1, ∴AB=AC=2，BC=1.

1313∵VA?OBC?又VA?OBC?S?OBC|AO|?312

S?ABC?h（h为O到平面ABC的距离）

∵S?ABC?74 ∴h?217

∴球心O到平面ABC的距离

217??????4分

（2）过O作OD⊥BC, ∵AO⊥面BOC ，且OD?面BOC, ∴OD⊥AO， ∴OD为异面直线OA和BC的公垂线段，即为异面直线OA和BC的距离。 又∵△OBC为等边三角形，且边长为1。所以OD=32 异面直线OA和BC的距离为32????????????????8分

（3）过B作BE⊥OC，∵△BOC为等边三角形，∴则垂足为OC的中点。 ∵AO⊥面BOC 且BE?面BOC,

∴AO⊥BE,又，BE⊥OC，OA?OC=O。 ∴BE⊥面AOC ∴△ABC在面AOC内的投影为△AEC

∵S?ABC?cos??S?AEC（其中?为二面角B—AC—O的大小）

7414S?ABC?，S?AEC? ∴cos??7777

∴二面角B—AC—O的大小：arccos（注：建系解答也可以）

???????12分

?na1(q?1)?20、解：（1）设等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn??a1(1?qn)????1分

(q?1)??1?qn?2n?1?a1q① 证明：设等比数列为{an}，公比为q。 ∴Sn?a1?a1q???a1q用心 爱心 专心 8

当q?1时，Sn?na ????????2分 1当q?1时， qSn?a1q???a1qn?2?a1qn?1?a1q②

n① －②：(1?q)Sn?a1?a1q，从而Sn?na1(1?q)1?qn

?na1(q?1)?∴Sn??a1(1?qn)????????????????4分

(q?1)?1?q?（2）∵S3,S9,S6成等差数列 ∴2S9?S3?S6， 显然公比q?1 ∴

2a1(1?q)1?q9?a1(1?q)1?q6?a1(1?q)1?q3, ∴ 1?q3?2q6??????????6分

∴2a7?k?2a1qk?6?2a1q6?qk 又因为：a1?k?a4?k?a1qk?a1qk?3?a1(1?q3)?qk ∵1?q?2q ∴2a7?k?a1?k?a4?k

∴a1?k,a7?k,a4?k(k?N)成等差数列。???????????????8分 （3）当

q?136时.2Sn?1?(Sn?Sn?2)?2(n?1)a1?na1?(n?2)a1?0∴

2Sn?1?Sn?Sn?2。?9分

2a1(1?q1?qn?1当0?q?1时，2Sn?1?(Sn?Sn?2)?)?2a1(1?q)1?qn?2a1(1?q1?qn?2)

=a1qn(1?q)?0

∴2Sn?1?Sn?Sn?2

综上2Sn?1?Sn?Sn?2??????12分 21.证明：①设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则

(x1?x2)(x1?x2)414x142?y21?1，

x242?y2?1。

2两式相减得

?(y1?y2)(y1?y2)?0，即kOM?kAB??11614。

同理kON?kCD??， ∴(kOM?kAB)?k(ON?kCD?)

用心 爱心 专心 9

∴kOM?kON??14??????????????????????4分

14② 由①知：kOM?kAB??，又已知kAB?kCD??14 .

∴kOM?kCD,从而OM∥CD。

同理可知：ON∥AB ∴四边形ONEM为平行四边形。 ∴MN必过OE的中点(,0)。??????????6分

21（2）解：设AB的方程为y?k1(x?1)， CD的方程为y?k2(x?1)。

?y?k1(x?1)1?由?x2 ， 得(?k12)x2?2k12x?k12?1?0

24?y?1??4∴|AB|??14?k121?k1?243k1?11?4k1221?k1，同理|CD|?243k2?11?4k2221?k2

2∵S四边形ACBD?12|AB|?|CD|?sin?(?为AB,CD的夹角)

14令tan??|k1|,tan??|k2| ∴tan??ta?n?∴sin??sin(???)?1?11tan(???)2 ∴?????

22?24(k1?k2)?217?16(k1?k2)22

∴

S四边形ACBD?sin?22|AB|?|CD|?164(k1?k2)?217?16(k1?k2)1?2222?(3k1?1)(3k2?1)(4k1?1)(4k2?1)12?8|k1?k2|?4942222?(1?k1)(1?k2)

22?25?48(k1?k2)2?4(k1?k2)72222?12?2?4(k1?k2)2212??72

∴Smax?????????????????12分

22、解：函数f(x)是一个分段函数。

当1?x?2时，2?2x?4,f(x)?1cf(2x)?1c(1?2x?3);当4?x?8时，2?xx?4,f(x)?cf()?c(1??3);?? 222x用心 爱心 专心 10

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