同济大学(高等数学)_第十章_重积分(7)

图10—35

曲面的方程为z?1x2?y2，它在xOy坐标面上的投影区域为D:x2?y2?r2?R2，即

2r?R.?

由 ?z?x，??z?y，

?x?y??得 S???D?z1??x??2??z????dxdy ??y?2???1?x2?y2dxdy.

D用极坐标，则

S???1?r2rdrd???d??r1?r2dr

D002?R2?1R?2π??1?r2d(1?r2)?π?1?R23?20??32??1?.? ?4.2 质心

设在xOy平面上有n个质点，它们分别位于点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)处，质量分别为m1,m2,?,mn.由力学知识知道，该质点系的质心的坐标为

Mx?y?Mn?mxii?1nni?mi?1Mx??i?1n, y?Mnnmiyi,

iin?mi?1其中M??mi为该质点系的总质量. My??mixi，Mx??miyi分别为该质点系对y轴和xi?1i?1i?1轴的静矩.

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为π(x,y)，π(x,y)在D上连续，现在要找该薄片的重心坐标.

在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ (这个小闭域的面积也记作dσ)，(x,y)是这个闭区域上的一个点.由于dσ直径很小，且π(x,y)在D上连续，所以薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于π(x,y)dσ，这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上，于是可写出静矩元素dMy及

dMx分别为：

dMy?xπ(x,y)dσ,dMx?yπ(x,y)dσ.

31

以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

My???x?(x,y)d?,Mx???y?(x,y)d?.

DD又由第一节知道，薄片的质量为

M????(x,y)d?.

D所以，薄片的重心的坐标为

Myx??M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?D,My?x?M??y?(x,y)d?D???(x,y)d?D

如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则上式中可把ρ提到积分记号外面并从分子、分母中约去，于是便得到均匀薄片质心的坐标为

11x???xd?,y???yd?， (10-4-2)

ADAD其中A???dσ为闭区域D的面积.这时薄片的质心完全由闭区域D的形状所决定.我们把均匀

D平面薄片的质心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心.因此平面图形D的形心，就可用公式

(10-4-2)计算.

例3 求在r?1，r?2之间的均匀半圆环薄片的质心(图10—36).

图10—36

解 因为闭区域D对称于y轴，所以质心C?x,y?必位于y轴上，于是x?0，D的面积为

113A??22π??12π?π.?

222而

??yd???D?0sin?d??rdr???cos??0212???13r32?114， 3所以，由公式(10-4-2)得

y?111428，

yd????3A??Dπ39π228?即质心为??0,?. ?9π?4.3 转动惯量?

(x2,y2),?,(xn,yn)处，质量分别为设在xOy平面上有n个质点，它们分别位于点(x1,y1),m1,m2,?,mn.由力学知识知道，该质点系对于x轴和y轴的转动惯量依次为：

Ix??ymi,Iy??xi2mi.?

2ii?1i?1nn 32

设有一薄片，占有xOy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为π(x,y)，假定π(x,y)在

D上连续.现在要求该薄片对于x轴的转动惯量Ix以及对于y轴的转动惯量Iy.

应用元素法.在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ(这个小闭区域的面积也记作dσ)，(x,y)是这小闭区域上的一个点.因为dσ的直径很小，且π(x,y)在D上连续，所以薄片中相应于dσ部分的质量近似等于π(x,y)dσ，这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上，于是可写出薄片对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素：

dIx?y2π?x,y?dσ，dIy?x2π?x,y?dσ.

以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得

Ix???y2?(x,y)d?,Iy???x2?(x,y)d?.? (10-4-3)

DD例4 求由y2?4ax，y?2a及y轴所围成的均质薄片(面密度为1)关于y轴的转动惯量(图10—37).

图10—37 y2解 区域D由不等式0?y?2a,0?x?所确定.根据转动惯量Iy的计算公式，得

4a Iy???xd???dy?D022ay24a0

x2dx

2a11172a 6ydy??y0192a3?0192a372?a4. 21类似的，占有空间有界闭区域?，在点?x,y,z?处的密度为??x,y,z?（假定??x,y,z?在?上

?连续）的物体对于x,y,z轴的转动惯量为：

Ix?????y2?z2??(x,y,z)dv,??

Iy?????x2?z2??(x,y,z)dv,

Iz?????x2?y2??(x,y,z)dv.

?4.4 引力?

设有一平面薄片，占有xOy平面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为π(x,y)，假定

π(x,y)在D上连续.现在要计算该薄片对位于z轴上的点M0(0,0,a)(a?0)处的单位质量的质点的引力.

我们应用元素法来求引力F??Fx,Fy,Fz?.在闭区域D上任取一直径很小的闭区域dσ (这小闭区域的面积也记作dσ)，(x,y)是dσ上的一个点.薄片中相应于dσ的部分的质量近似等于π(x,y)dσ，这部分质量可近似看作集中在点(x,y)处，于是，按两质点间的引力公式，可得出

33

π(x,y)dσ0?a)，引力的方向与(x,y,2r一致，其中r?x2?y2?a2，G为引力常数.于是薄片对该质点的引力在三个坐标轴上的投影

薄片中相应于dσ的部分对该质点的引力的大小近似地为GFx,Fy,Fz的元素为：

π(x,y)xdσ， 3rπ(x,y)ydσ， dFy?G3rπ(x,y)(?0adσ) dFz?G. 3r以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，便得到

?(x,y)xFx?G??d?， 3222D(x?y?a)2

?(x,y)yFy?G??d?， (10-4-4) 3D(x2?y2?a2)2

?(x,y)Fz??Ga??d?. 3D(x2?y2?a2)2dFx?G例5 求面密度为常量、半径为R的匀质圆形薄片：x2?y2?R2，z?0对位于z轴上点M0(0,0,a)(a＞0)处单位质量的质点的引力.

解 由积分区域的对称性易知，Fx?Fy?0.记面密度为常量π，这时

Fz??Ga???Dd?(x2?y2?a)R322d???Ga??d??02?Rrdr(r2?a)3220

??πGaπ?d(r2?a2)0?11??2πGaπ???3??， 22a222?R?a?(r?a)??11??. 故所求引力为?0,0,2πGaπ????????22a?R?a???习 题 10-4

1.求曲面xy?az含在圆柱面x2?y2?a内部的那部分面积.

2.求球面x2?y2?z2?a2含在圆柱面x2?y2?ax内部的那部分面积. 3.求锥面z?x2?y2被柱面z2?2x所割下部分的曲面面积. 4.求密度均匀的上半椭球体的质心..

5.求位于两圆??2sin?和??4sin?之间的均匀薄片的质心..

6.设薄片所占的闭区域D由y?2px，x?x0，y?0所围成，求均匀薄片的质心. 7.设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心.

34

8.设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：

2y2x(1)D:2?2?1，求Iy； ab(2)D由抛物线y2?9x与直线x?2所围成，求Ix和Iy；

29.求密度均匀的半径为R的圆形平面薄板关于其切线的转动惯量.

10.求均匀薄片x2?y2?R2,z?0对于轴上一点?0,0,c??c?0?处的单位质量的引力. 11.求均匀柱体x2?y2?a2,0?z?h对于点P?0,0,c??c?h?处的单位质量的引力.

35

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库同济大学(高等数学)_第十章_重积分(7)在线全文阅读。