同济大学(高等数学)_第十章_重积分(4)

图10—20?

设ΔD的四条边界线的交点为P1(x0,y0)，P2(x0??x1,y0??y1)，P3(x0??x2,y0??y2)和

??????????P4(x0?Δx3,y0?Δy3).当Δu,Δv很小时，Δxi,Δyi?i?1,2,3?也很小，ΔD的面积可用P1P2与P1P4构成的平行四边形面积近似.即

??????????Δσ?P1P2?P1P4.

而

?????P1P2??Δx1?i??Δy1?j

?［x?u0?Δu,v0??x?u0,v0?］i?［y?u0?Δu,v0??y(u0,v0］j ?［x?u?u0,v0?Δu］i?［y?u?u0,v0?Δu］j.

同理 从而得

?????P1P4?［x?v?u0,v0?Δv］i?［y?v?u0,v0?Δv］j.

?y?x???????????uΔu?uΔu的绝对值 Δσ?P1P2?P1P4??y?xΔvΔv?v?v?(x,y)?(x,y)??ΔuΔv?Δσ*. ?(u,v)?(u,v)因此，二重积分作变量替换x?x(u,v),y?y(u,v)后，面积元素dσ与dσ*的关系为

d???(x,y)d?*, ?(u,v)?(x,y)dudv. ?(u,v)或

dxdy?由此得如下结论：

定理1 若f(x,y)在xOy平面上的闭区域D上连续，变换T：x?x(u,v),y?y(u,v)，将uOv平面上的闭区域Duv变成xOy平面上的D,且满足:

(1)x(u,v),y(u,v)在Duv上具有一阶连续偏导数， (2)在Duv上雅可比式

?(x,y)?0；

?(u,v)(3)变换T：Duv?D是一对一的，则有

J? 16

??f(x,y)dxdy???f?x(u,v),y(u,v)?Jdudv.

DDuv例9 计算二重积分??eDy?xy?x其中D是由x轴，y轴和直线x?y?2所围成的闭区域. dxdy，

解 令u?y?x,v?y?x，则

v?uv?u.? ，y?22在此变换下，xOy面上闭区域D变为uOv面上的对应区域D?(图10—21).

x?图10—21

雅可比式为

11?(x,y)1J??22??，

?(u,v)21122?则得

??eDy?xy?xdxdy???e?D?uv1dudv 2uv1212??dv?evdu??(e?e-1)vdv

?v2020=e?e?1.

例10 设D为xOy平面内由以下四条抛物线所围成的区域：x2?ay,x2?by,y2?px，

y2?qx，其中0＜a＜b, 0＜p＜q，求D的面积.

解 由D的构造特点，引入两族抛物线y2?ux,x2?vy，则由u从p变到q，v从a变到b时，这两族抛物线交织成区域D?（图10—22）.?

图10—22?

雅可比行列式为

J??(x,y)1 ??(u,v)?(u,v)?(x,y)

17

?1?yx22xy21??， 32yx2?x2y则所求面积

11S???dxdy???dudv??b?a??q?p?.

33DD?

习题10—2

1.画出积分区域，把??f(x,y)d?化为二次积分：

D(1)D?{?x,y｜?x?y?1,y?x?1,y?0}； (2)D?{?x,y｜?y?x?2，x?y2}. 2.改变二次积分的积分次序： (1)?dy?022yy22xf(x,y)dx； (2)?dx?1elnx0f(x,y)dy；

(3)?dx?02xf?x,y?dy； (4)?dx?-1D11?x2?1?x2f(x,y)dy.

3.设f(x,y)连续，且f(x,y)?xy???f(x,y)d?，其中D是由直线y?0,x?1及曲线y?x2所围成的区域，求f(x,y). 4.计算下列二重积分：

(1)???x2?y2?d?，D???x,y?|x?1,y?1?；

D(2)??Dsinxdσ，其中D是直线y?x与抛物线y??x所围成的区域； x(3)??xd?，D??x,y?|x2?y2?x；

D?? (4)??x2e-ydxdy，D是顶点分别为O?0,0?，A?1，1?，B?0,1?的三角形闭区域.

D25.求由坐标平面及x?2,y?3,x?y?z?4所围的角柱体的体积.

6.计算由四个平面x?0,y?0,x?1,y?1所围的柱体被平面z?0及2x?3y?z?6截得的立体的体积.

7.在极坐标系下计算二重积分：

(1)??sinx2?y2dxdy, D?{?x,y?|π2?x2?y2?4π2}；

D(2)??(x?y)dxdy， D?DD??x,y?|x2?y2?x?y?；

(3)??xydxdy，其中D为圆域x2?y2?a2；

(4)??ln(1?x2?y2)dxdy，其中D是由圆周x2?y2?1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭

D区域.

18

8. 将下列积分化为极坐标形式： (1)

?2a0dx?2ax?x20(x2?y2)dy; (2)

?a0dx?x0x2?y2dy.

9.求球体x2?y2?z2?R2被圆柱面x2?y2?2Rx所割下部分的体积. 10.作适当坐标变换，计算下列二重积分：

x2(1)??2dxdy,由xy?1，x?2，y?x所围成的平面闭区域；

yD(2)??eDyx?ydxdy，D?{?x,y?|x?y?1,x?0,y?0}；

(3)??DD22y2x2yx1?2?2dxdy, 其中D是椭圆2?2?1所围成的平面闭区域；

abab(4)???x?y?sin?x?y?dxdy, D?{?x,y?|0?x?y??,0?x?y??}. 11.设闭区域D由直线x?y?1，x?0，y?0所围成，求证：

?dxdy?2sin1. ??cos??x?y?D?x?y?112.求由下列曲线所围成的闭区域的面积：

(1) 曲线xy?4,xy?8,xy3?5,xy3?15所围成的第一象限的平面闭区域；

（0?a?b,0????）(2) 曲线x?y?a,x?y?b,y??x,y??x所围的闭区域.

19

第3节 三重积分

3.1 三重积分的概念

三重积分是二重积分的推广，它在物理和力学中同样有着重要的应用.?

在引入二重积分概念时，我们曾考虑过平面薄片的质量，类似地，现在我们考虑求解空间物体的质量问题.设一物体占有空间区域Ω，在Ω中每一点(x,y,z)处的体密度为π(x,y,z)，其中π(x,y,z)是Ω上的正值连续函数.试求该物体的质量.

先将空间区域Ω任意分割成n个小区域

Δv1, Δv2, ?, Δvn

(同时也用Δvi表示第i个小区域的体积).在每个小区域Δvi上任取一点(ξi,εi,δi)，由于

π(x,y,z)是连续函数，当区域Δvi充分小时，密度可以近似看成不变的，且等于在点(ξi,εi,δi)处的密度，因此每一小块Δvi的质量近似等于

π(ξi,εi,δi)Δvi，

物体的质量就近似等于

?π(ξ,ε,δ)Δviiii?1ni.

令小区域的个数n无限增加，而且每个小区域Δvi无限地收缩为一点，即小区域的最大直径λ?maxd?Δvi??0时，取极限即得该物体的质量

1?i?nnM?lim?π(ξi,εi,δi)Δvi.?

λ?0i?1由二重积分的定义可类似给出三重积分的定义：

定义1 设Ω是空间的有界闭区域，f(x,y,z)是Ω上的有界函数，任意将Ω分成n个小区域Δv1,Δv2,?,Δvn，同时用Δvi表示该小区域的体积，记Δvi的直径为d?Δvi?，并令?,n)，作乘积f(ξi,εi,δi)Δvi，把这些λ?maxd?Δvi?，在Δvi上任取一点(ξi,εi,δi)，(i?1,2,1?i?nnn乘积加起来得和式?f(ξi,εi,δi)Δvi，若极限lim?f(ξi,εi,δi)Δvi存在(它不依赖于区域Ω的分

i?1λ?0i?1法及点(?i,?i,?i)的取法)，则称这个极限值为函数f(x,y,z)在空间区域Ω上的三重积分，记作

???f?x,y,z?dv,

?即

?f(?,?,?)?v???f?x,y,z?dv?lim???0iiii?1ni,

其中f(x,y,z)叫做被积函数，Ω叫做积分区域，dv叫做体积元素.

在直角坐标系中，若对区域Ω用平行于三个坐标面的平面来分割，于是把区域分成一些小长方体.和二重积分完全类似，此时三重积分可用符号???f?x,y,z?dxdydz来表示，即在直角坐

?标系中体积元素dv可记为dxdydz.

有了三重积分的定义，物体的质量就可用密度函数π(x,y,z)在区域Ω上的三重积分表示，即

M??????x,y,z?dv,

?如果在区域Ω上f(x,y,z)?1，并且Ω的体积记作V，那么由三重积分定义可知

???1dv????dv?V.?

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