同济大学(高等数学)_第十章_重积分(5)

这就是说，三重积分???dv在数值上等于区域Ω的体积.

?三重积分的存在性和基本性质，与二重积分相类似，此处不再重述. 3.2 三重积分的计算?

为简单起见，在直角坐标系下，我们采用微元分析法来给出计算三重积分的公式. 三重积分???f(x,y,z)dv表示占空间区域Ω的物体的质量.设Ω是柱形区域，其上、下分别

?由连续曲面z?z1(x,y),z?z2(x,y)所围成，它们在xOy平面上的投影是有界闭区域D；Ω的侧面由柱面所围成，其母线平行于z轴，准线是D的边界线.这时，区域Ω可表示为

Ω???x,y,z?|z1(x,y)?z?z2(x,y), (x,y)?D?? 先在区域D内点(x,y)处取一面积微元dσ?dxdy，对应地有Ω中的一个小条，再用与xOy面平行的平面去截此小条，得到小薄片(图10—23).

图10—23

于是以dσ为底，以dz为高的小薄片的质量为

f(x,y,z)dxdydz.?

把这些小薄片沿z轴方向积分，得小条的质量为

?z2(x,y)f(x,y,z)dz?dxdy. ????z1(x,y)?然后，再在区域D上积分，就得到物体的质量

?z2(x,y)f(x,y,z)dz?dxdy. ??????z1(x,y)?D

也就是说，得到了三重积分的计算公式 z2(x,y)z2(x,y)??f(x,y,z)dzdxdy=f?x,y,z?dv????z(x,y)???dxdy?f(x,y,z)dz. ? (10-3-1) ????z(x,y)1??1 ?DD?例1 计算三重积分???xdxdydz，其中Ω是三个坐标面与平面x?y?z?1所围成的区域

?（图10—24）.?

图10—24

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解 积分区域Ω在xOy平面的投影区域D是由坐标轴与直线x?y?1围成的区域：0?x?1，0?y?1?x，所以

???xdxdydz???dxdy??D101?x?y01?xxdz??dx?011?x0dy?1?x?y0xdz

??dx?10x(1?x?y)dy

(1?x)21 ??xdx?.? 02242 x?0，y?0，z?0，x2?y2?z2?R（见图例2 计算三重积分???zdv，其中Ω:10—25）.?

?图10—25

解 区域Ω在xOy平面上的投影区域D:x?0，y?0，x2?y2?R2.对于D中任意一点(x,y)，相应地竖坐标从z?0变到z?R2?x2?y2.因此，由公式(10-3-1)，得

R2?x2?y2

???zdv???dxdy??D0zdz???D12R?x2?y2?dxdy ?2R1??2dζ?(R2?π2)πdπ

0202π4?1π?2ππ4. ???R???R??22?2416??0Rπ三重积分化为累次积分时，除上面所说的方法外，还可以用先求二重积分再求定积分的方

［A,B］法计算.若积分区域Ω如图10-26所示，它在z轴的投影区间为，对于区间内的任意一点

z，过z作平行于xOy面的平面，该平面与区域Ω相交为一平面区域，记作D(z).这时三重积分可以化为先对区域D?z?求二重积分，再对z在?A,B?上求定积分，得

????f(x,y,z)dv??dz??f(x,y,z)dxdy. (10-3-2)

AD(z)B图10—26

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我们可利用公式(10-3-2)重新计算例2中的积分.

［0,R］区域Ω在z轴上的投影区间为，对于该区间中任意一点z，相应地有一平面区域

D?z?:x?0，y?0与x2?y2?R2?z2与之对应.由公式(10-3-2)，得

???zdv??dz??zdxdy.

?0D?z?R求内层积分时，z可以看作常数：并且D?z?:x2?y2?R2?z2是1个圆，其面积为

4π?R2?z2，所以 4?????zdv=?z?4π?R?0R12?z2?dz?2π4R. 1622yxz例3 计算三重积分???zdv，其中Ω:2?2?2?1. abc?解 我们利用公式(10-3-2)将三重积分化为累次积分.区域Ω在z轴上的投影区间为［?c,c］，对于区间内任意一点z，相应地有一平面区域D?z?：

2?1? 2zb(1?2)c?z2?与之相应，该区域是一椭圆(图10—27)，其面积为πab?1?2?.所以?

c??2za(1?2)c22x2?y2ccz2?222?zdv=zdzdxdy?πabz1?dz?4πabc3?4πabc3.? ??2????????c?c1515?c??D(z)图10—27

3.3 三重积分的换元法?

对于三重积分???f(x,y,z)dv作变量替换：

?

?x?x(r,s,t)??y?y(r,s,t) ?z?z(r,s,t)?它给出了Orst空间到Oxyz空间的一个映射，若x?r,s,t?,y?r,s,t?,z?r,s,t?有连续的一阶偏导

?(x,y,z)?0,则建立了Orst空间中区域Ω*和Oxyz空间中相应区域Ω的一一对应，与二

?(r,s,t)重积分换元法类似，我们有

数，且

23

?(x,y,z)drdsdt.

?(r,s,t)dv?于是，有换元公式

????f(x,y,z)dv????f?x(r,s,t),y(r,s,t),z(r,s,t)???*?(x,y,z)drdsdt.

?(r,s,t)作为变量替换的实例，我们给出应用最为广泛的两种变换：柱面坐标变换及球面坐标变换. 3.3.1 柱面坐标变换?

三重积分在柱面坐标系中的计算法如下： 变换

?x?rcosζ,??y?rsinζ, ?z?z?称为柱面坐标变换，空间点M?x,y,z?与(r,ζ,z)建立了一一对应关系，把(r,ζ,z)称为点柱面坐标实际是极坐标的推广.这里r,ζ为点M在xOy面上的M?x,y,z?的柱面坐标.不难看出，

0?ζ?2π，??＜z＜??（图10—28）.? 投影P的极坐标.0?r＜??，图10—28

柱面坐标系的三组坐标面为

(1)r?常数，以z为轴的圆柱面； (2)ζ?常数，过z轴的半平面； (3)z?常数，平行于xOy面的平面.

cosζ?rsinζ0?(x,y,z)?sinζrcosζ0?r，则在柱面坐标变换下，体积元素之间的关系式为：由于

?(r,ζ,z)001dxdydz?rdrdζdz.

于是，柱面坐标变换下三重积分换元公式为：

???f(x,y,z)d z (10-3-3) xdydz=f(?rcos?r,sinz?,r. )r??????至于变换为柱面坐标后的三重积分计算，则可化为三次积分来进行.通常把积分区域Ω向

xOy面投影得投影区域D，以确定r,ζ的取值范围，z的范围确定同直角坐标系情形.

例4 计算三重积分???zx2?y2dxdydz，其中Ω是由锥面z?x2?y2与平面z?1所围成

?的区域.

0?r?1，0?ζ?2π (图10—29). 解 在柱面坐标系下，积分区域Ω表示为r?z?1， 24

图10—29

所以有

2π1

222???zx?ydxdydz??d??dr?z?rdz ?00r1例5 计算三重积分?????122r(1?r2)dr?π. 0215x2?y2dxdydz，其中Ω是由曲线y2?2z，x?0绕z轴旋转一周而

?2π?1?成的曲面与两平面z?2，z?8所围之区域.

解 曲线y2=2z，x?0绕z旋转，所得旋转面方程为x2?y2?2z.

设由旋转曲面与平面z?2所围成的区域为Ω1，该区域在xOy平面上的投影为

D1,D1??x,y?|x2+y2?4.由旋转曲面与z?8所围成的区域为Ω2,Ω2在xOy平面上的投影为D2，D2?{?x,y?|x2+y2?16}.则有Ω2?Ω?Ω1,如图10—30所示.?

??图10—30

8????x?2?y2?dxdydz???drd??r3dz???drd??r2r3dz

D12D22232π008??dζ?6rdr??02π?r2?dζ?r?8??dr?336π. 22??433.3.2 球面坐标变换?

三重积分在球面坐标系中的计算法如下： 变换

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