同济大学(高等数学)_第十章_重积分(6)

?x?rsinφcosζ,??y?rsinφsinζ, ?z?rcosφ?称为球面坐标变换，空间点M?x,y,z?与(r,φ,ζ)建立了一一对应关系，把(r,φ,ζ)称为点M?x,y,z?的球面坐标(图10-31)，其中

0?r＜??,0?φ?π,0?ζ?2π.

图10-31

球面坐标系的三组坐标面为：

(1)r?常数，以原点为中心的球面；

(2)φ?常数，以原点为顶点，z轴为轴，半顶角为φ的圆锥面；

(3)ζ?常数，过z轴的半平面.

由于球面坐标变换的雅可比行列式为

sinφcosζrcosφcosζ?rsinφsinζ?(x,y,z)?sinφsinζrcosφsinζrsinφcosζ?r2sinφ，

?(r,φ,ζ)cosφ?rsinφ0则在球面坐标变换下，体积元素之间的关系式为:

dxdydz?r2sinφdrdζdφ.?

于是，球面坐标变换下三重积分的换元公式为

???f(x,y,z)dxdydz=???f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)?rsin?drd?d?. (10-3-4)

???2例6 计算三重积分

???(x?2，其中Ω表示圆锥面x2?y2?z2与球面?y2?z2)dxdydzx2?y2?z2?2Rz所围的较大部分立体.

解 在球面坐标变换下，球面方程变形为r?2Rcosφ，锥面为φ?π(图10—32).这时积分

4区域Ω表示为

π0?ζ?2π， 0?φ?， 0?r?2Rcosφ，

4 26

图10—32

所以

???(x?2ππ42?y2?z2)dxdydz=???r2?r2sin?drd?d?

??285. πR00015例7 计算三重积分???(2y?x2?z2)dxdydz，其中Ω是由曲面x2?y2?z2?a2，

??dζ?dφ?2Rcosφ42Rcosφ02π4rsinφdr?sinφ(r5)?50πdφ??x2?y2?z2?4a2，x2?z2?y所围成的区域.

解 积分区域用球面坐标系表示显然容易，但球面坐标变换应为

x?rsinφcosζ,z?rsinφsinζ,y?rcosφ，

这时dv?r2sinφdrdφdζ，积分区域Ω表示为a?r?2a,0?φ?π,0?ζ?2π (图10—33).

4图10—33

所以

222ππ4

2a1515?4. (2y?x?z)dxdydz=d?d?(2rcos??rsin?)r2sin?dr???π?aπ???????00a816???值得注意的是，三重积分的计算是选择直角坐标，还是柱面坐标或球面坐标转化成三次积

分，通常要综合考虑积分域和被积函数的特点.一般说来，积分域Ω的边界面中有柱面或圆锥面时，常采用柱面坐标系；有球面或圆锥面时，常采用球面坐标系.另外，与二重积分类似，三重积分也可利用在对称区域上被积函数关于变量成奇偶函数以简化计算.?

?

27

习题10-3

1.化三重积分I????f(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中积分区域Ω分别是.

?(1) 由双曲抛物面xy?z及平面x?y?1?0，z?0所围成的闭区域； (2) 由曲面z?x2?y2及平面z?1所围成的闭区域. 2.在直角坐标系下计算三重积分：

(1)????xy+z2?dxdydz，其中???-2,5???-3,3???0,1?；

?(2)???xy2z3dxdydz,其中Ω是由曲面z?xy与平面y?x，x?1，和z?0所围成的闭区域；

?(3)????dxdydz?1+x+y+z?3，其中Ω为平面x?0，y?0，z?0，x?y?z?1所围的四面体；

(4)???ycos?x?z?dxdydz，其中Ω为y?x,y?0,z?0和x?z???所围成的闭区域. 23.利用柱面坐标计算下列三重积分：

(1)???zdv，其中Ω是由曲面z?2?x2?y2及z?x2?y2所围成的闭区域；

?(2)????x2?y2?dv，其中Ω是由曲面2x2?y2?z及平面z?4所围成的闭区域.

???4.利用球面坐标计算下列三重积分：

(1)????x2?y2?z2?dv，其中Ω是由球面x2?y2?z2?1所围成的闭区域；

?x2yz2(2)???zdv，其中Ω为由2?2?2?1与z?0所围区域.

abc?5.选用适当的坐标计算下列三重积分：

(1)???xydv，其中Ω为柱面x2?y2?1及平面z?1，z?0，x?0，y?0所围成的在第一卦

?2限内的闭区域；

(2)???x2?y2?z2dv，其中Ω是由球面x2?y2?z2?z所围成的闭区域.

?6.利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积： (1)z?6?x2?y2及z?x2?y2； (2)z?x2?y2,z?2x2?y2,y?x,y?x2.

?? 28

第4节 重积分的应用

我们利用定积分的元素法解决了许多求总量的问题，这种元素法也可以推广到重积分的应用中，如果所考察的某个量u对于闭区域具有可加性(即：当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量u相应地分成许多部分量，且u等于部分量之和)，并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dΩ时，相应的部分量可近似地表示为f?M?dΩ的形式，其中M为dΩ内的某一点，这个f?M?dΩ称为所求量u的元素而记作du，以它为被积表达式，在闭区域D上积分

u??f(M)d?,? (10-4-1)

D这就是所求量的积分表达式，显然当区域D为平面闭区域，M为D内点(x，y)时，dΩ?dσ即为面积微元，则(10-4-1)式可表示为

u???f(x,y)d?.?

D当区域D为空间闭区域，M为D内点(x,y,z)时，dΩ?dv即为体积微元，则(10-4-1)式可表示为

u????f(x,y,z)dv.

D下面讨论重积分的一些应用.

4.1 空间曲面的面积

设曲面S的方程为z?f(x,y)，曲面S在xOy坐标面上的投影区域为D，f(x,y)在D上具有连续偏导数fx(x,y)和fy?x,y?,我们要计算曲面S的面积A.

在D上任取一面积微元dσ，在dσ内任取一点P(x,y)，对应曲面S上的点M(x,y,f(x,y))在xOy平面上的投影即点P，点M处曲面S有切平面设为T(图10—34)，以小区域dσ的边界为准线，作母线平行于z轴的柱面，这柱面在曲面S上截下一小片曲面，其面积记为ΔA，柱面在切平面上截下一小片平面，其面积记为dA，由于dσ的直径很小，切平面T上的那一小片平面的面积dA可近似代替曲面S上相应的那一小片曲面的面积ΔA，即

ΔA?dA.

图10—34

设点M处曲面S的法线(指向朝上)与z轴正向的夹角为γ，则根据投影定理有

dσ. dA?cosγ1因为 cosγ?，

221?fx(x,y)?fy(x,y)

29

所以 dA?1?fx2(x,y)?fy2(x,y)dσ,

这就是曲面S的面积元素.以它为被积表达式在闭区域D上积分，得

A???1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d?

D或

A???D?z1??x??2??z????dxdy, ??y?2这就是曲面面积的计算公式.

设曲面方程为x?g(y,z)［或y?h(z,x)］，则可把曲面投影到yOz面上(或zOx面上)，得投影区域Dyz(或Dzx)，类似可得

A???Dyz2??x??x1????dydz,

?z??y???2或

A=??Dzx??y???y?1??????dzdx. ??x???z?22例1 求半径为a的球的表面积.

解 取上半球面方程为z?a2?x2?y2，则它在xOy面上的投影区域D可表示为

x2?y2?a2. ?z?x?由? ，

222?xa?x?y?y?z?,

222?ya?x?y?z???z?a得 1??. ??????222??x???y?a?x?y因为这函数在闭区域D上无界，不能直接应用曲面面积公式，由广义积分得

aA?2??dxdy.

222a?x?yD用极坐标，得

A?2a?dζ?02πa22ra2?r20dr?4πa2.

例2 求旋转抛物面z?1x2?y2被圆柱面x2?y2?R2所截下部分的曲面面积S.

2解 曲面的图形如图10—35所示.

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