电磁测深教程 第四章 静态效应
在均匀大地中．一次场
Ep?r0??E0e?ikr?r0?ikr?r0Hp?r0??H0e替，则(4.6.6)中的二次场可近似地写为
Esj?r???Gj?r,r0?E0eV0
对积分表达式(4.6.6)进行一阶Born近似，即积分号下的总场用一次场Ep代
?ikr?r0??E?r0?d?0 （4.6.8）
其中Gj由式子G?Gx,Gy,Gz?所给出，j?x,y,z。
在准静态极限下，k???i???1?i????02，故(4.6.8)式可进一步写为：
???r0?d?0 （4.6.9）
??i????r?r0Esj?r???Gj?r,r0?Ee0V0??i????r?r0从(4.6.9)可以看出，二次电场是对三维体电导率e分布的一种加权平
均，平均的权函数为E0Gj?r,r0?e??i????r?r0???r0?，平均区域为V0，也即三维体的大小。
从横向来看，当三维体V0的埋深一定时，若V0的分布较宽广，则相应的异常范围也较大，从而异常的畸变相对平缓，所以异常的奇性也相对变弱。
从纵向来看，若三维体V0的横向分布不变，当埋深增大时，由于积分式(4.6.9)中因子e??r?r0具有随距离衰减作用，二次电场异常的幅度变小，从而异常的奇性
也相对变弱。另外，在MT法、CSAMT法等频率域电磁测深方法中，其振幅测量的结果均表示为卡尼亚电阻率，分子中包含电场水平分量，所以电场的奇性特征在一定程度上要传递给卡尼亚电阻率。
为了对电场积分表达式(4.6.9)及卡尼亚电阻率作更深入的分析，需用奇性分析理论，为此引人两个基本概念：
定义4.6.1设0≤?≤1，函数f?x?在点x0处被认为是Lipschitz ?的，当且仅当存在一个常数K>0使得对x0的某一邻域内的一切x有不等式
f?x??f?x0??Kx?x0 (4.6.10)
?成立。
函数f?x?称为在区间(a，b)上是一致Lipxchitz ?的。当且仅当一切x,x0∈(a，b)，不等式(4.6.10)均成立。
从数学理论知道，若f?x?是可微的，则Lipschitz指数??1，若f?x?在x0处不连续但有界，则Lipshcitz指数??0。可见，Lipschitz指数刻画了一个函数(或信号)的奇性。
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为了研究地球物理异常的奇性，定义4.6.1的要求太苛刻，必须将Lipcshitz指数?的非负性要求取消，为此引入定义4.6.2：
定义4.6.2设f?x?是一个广义函数，f?x?被称为是在区间(a，b)上一致Lipschitz ?的，当且仅当f?x?的原函数在区间(a，b)上一是致Lipschitz??1的。
从定义4.6.1，4.6.2可以看出，Lipschitz指数?是对信号(或函数)奇性的一种度量。所谓信号的奇性，直观地说就是信号变化剧烈与平缓的一种反映，变化越剧烈的地方奇性越强，体现为Lipschitz指数?越小，反之亦然。在地球物理勘探中，有异常的地方，总在其背景值上产生一畸变，从而奇性增强，所以利用Lipschitz指数?就能刻画这种奇性。特别是结合小波变换，利用小波母函数具有紧支集的局部性特点，就能深入分析异常奇性的强弱，并给出具体的计算。
根据Mallat研究结果，有如下结论：函数f?x?在区间(a，b)上是一致Lipschitz ?的充要条件为存在常数K>0，使得对所有的x∈(a，b)，f?x?的小波变换Wsf?x?满足不等式
Wsf?x??Ks? (4.6.11)
由于在电磁法勘探中，采集的数据均是离散的，所以设原始卡尼亚电阻率为
???n??，在实际研究中要用(4.6.11)式的离散形式：
W2j??n??K?2j? (4.6.12)
其中，n为观测点点号；2j为小波尺度离散值。
利用带约束条件的最优化方法，可以计算出异常的奇性指标?。将(4.6.12)式取对数
logW2j??n??log2K???j (4.6.13)
其中j?1,2,???,J;J为分解层数，对应于尺度s?2j，构作目标函数：
???logj?1J22K???j?log2W2j??n??? (4.6.14)
求在约束条件式(4.6.13)之下，使(4.6.14)式取最小值的最优化解，这样就可确定(4.6.12)式的系数K及奇性指标?。
通过计算理论模型和实际资料的原始卡尼亚电阻率???n??的小波变换，并选取出小波变换绝对值的最大值和对应的点号，可以发现：小波变换?W2j??n??的最大值与二、三维异常体的大小和埋深有密切关系。对浅部可能引起静态效应的局部不均匀体，随着小波尺度2j的增大，小波变换?W2j??n??的最大值快速下降；对于深部有一定规模的地质体，随着小波尺度2j的增大，其小波变换?W2j??n??的最大值增加或基本上保持常值。根据这一现象，结合不等式(4.6.12)可以得到
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下面的结论：
在浅部的局部不均匀体产生的异常范围内，其异常的奇性指标应为负值；在深部有一定规模的地质体产生的异常范围内，其异常的奇性指标应为正值。因此，奇性指标?刻画着不同异常的特征。
下面以几组模型计算说明奇性指标与地质体的关系。
理论模型1如图4.6.1所示。图4.6.1(a)、(b)分别为均匀半空间和三层介质中存在一个60m?60m?50m、电阻率为10??m的三维体。取点距为20 m，计算卡尼亚电阻率???n??。设图4.6.1(a)、(b)中三维体相应的异常的奇性指标分别为
?a、?b。计算结果为：当埋深H=20 m时，?a??1.279,?b??1.282；当埋深
H=30 m时，?a??1.203,?b??1.217。
理论模型2如图4.6.2所示。图4.6.2(a)、(b)与图4.6.1(a)、(b)的不同是三维体变大(1000m?400m?100m)并且埋深H?200m也相应变大。同图4.6.1一样，取点距为20 m计算卡尼亚电阻率???n??，并设图4.6.2(a)、(b)三维体产生的异常相应的奇性指标为?a、?b，计算结果为：?a?0.6972,?b?0.707。
理论模型3如图4.6.3所示。为了考查电法数据异常奇性指标的实际有效性，需要研究二维、三维组合模型的情况。计算电阻率???n??时，中梯极距为3000 m，点距为25 m。设图中模型A和模型B对应的奇性指标分别为?a、?b。计算的结果为?a??0.7129,?b?0.6876
图4.6.1理论模型1示意图
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图4.6.2理论模型2示意图
图4.6.3理论模型3示意图
根据以上的理论分析与计算，可以得到在勘查电磁法中对二、三维地质体异常特征的新认识：
①浅部横向分布较小的二、三维地质体产生的异常的奇性强，表现为奇性指标取负值；
②横向分布有一定规模的二、三维地质体(埋深可深可浅)产生的异常的奇性弱，表现为奇性指标取正值；
③同一个二、三维地质体随着埋深的增加，相应的异常的奇性减弱，表现为奇性指标逐步变大。利用这一点，可通过奇性指标反演异常体深度。
利用这几点结论，根据异常奇性指标的正或负，可以区分频率域电磁法中静态效应与有用异常。再结合小波变换的极大值与异常体边界的对应关系，还能圈定出异常体的横向分布范围。这对于识别、分离与压制静态效应是十分有用的。
必须指出，采样密度与异常的奇性之间的关系一般有如下规律：当测量极距
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小于地质体水平尺寸的五分之一时，奇性指标为正，反之为负。因此，当讨论某一地区异常的奇性指标时，应在同一观测极距下进行，否则会导致错误的理解和结论。
4.7 多分辨分析与静态效应的最佳压制
4.7.1信号的多尺度分离
Fourier分析中，其基函数?ei?x?通过适当离散后可以组成L2?0,2??的正交基，因而它容易将一个函数按频谱成分进行分解，这是经典频谱分析滤波理论的基础。但是，对于窗口Fourier变换，由于不论如何离散化，?g?x???ei?x?均不可能组成正交基，这不利于将一个函数进行分解。然而，小波分析有Mallat的多尺度分析作为理论基础，可将函数进行多尺度分解，并且还有实现这种分解的快速算法。Mallat的多尺度分析(多分辨分析)可相当经典频谱分析的快速Fourier变换。理论上已证明，存在一些特殊的小波母函数??x?，使得
?ji?x??2?j/2??2?jx?i? (4.7.1)
组成L2?R?的正交基，这里j、i∈Z，Z为整数集。故，对f?x??L2?R?，有如下分解式
f?x????Wf?j,i??ji?x? (4.7.2)
j?Zi?Z?其中，Wf?j,i??f?x?,?ji?x??2?j/2?f?x???2?jx?i?dx为f?x?的2进小波变
??换，也称小波系数。
如果要把(4.7.2)式运用到异常的分离，除了小波函数外还要引进尺度函数
??x?。根据多分辨逼近理论，可以选择与??x?相应的尺度函数??x?，令
?ji?x??2?j/2??2?jx?i?,j,i?Z，则?ji?x?与?mn?x?正交(当m f?x???f?x?,?Ji?x??Ji?x????f?x?,?ji?x??ji?x? (4.7.3) i?Zj?0i?ZJ其中，J是待定整数，它可根据信号奇性识别来确定。 在(4.7.3)式中，随着J的不同，就会引起尺度S?2j的变化(j=0，l，2，?，J)。因此，可称(4.7.3)式为对一个函数的多尺度分解。令 303 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库静态效应 - 图文(8)在线全文阅读。
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