静态效应 - 图文(6)

电磁测深教程 第四章 静态效应

上所确定的区间内f(x)的值将影响Wf (a0，b0)。

由上面的分析可知，当小波??x?在空间域上个有紧支集时，那么f(x)关于这样的小波??x?的小波变换具有空间的局部性。

b) 频率域的局部性

????,?????分别为f(x)和??x?的Fourier变换，根据小波变换(4.5.6)式，设f则

Wf?a,b??a2???????????a??eib?d? (4.5.13) f?从(4.5.6)式得到(4.5.13)式，其中用到下面的关系式：

?x??a????a???a?? (4.5.14) 记 ?a?x?????，则?a??从(4.5.14)式还可以看出尺度a与频率ω特征的对应关系，粗略地讲，小尺度a对应于高频，而我们常又习惯于高频部分位于低频部分的上面，这也就说明了为什么要按约定方式来画出空间—尺度平面。由于尺度a与频率有上述的对应关系，我们也就可以将空间—尺度平面看成是空间—频率平面。

根据(4.5.13)式，若我们假设小波??x?在其频率域中具有紧支集，即??x?的

??x?在有限的区间（ωmin，ωmax）外恒为零。 Fourier变换?类似于空间域的局部性，我们也有下面两个问题：

????影响空间—尺度平面H哪些区域（1）在ω0点的f(x)的Fourier系数f0上的f(x)的小波变换Wf (a，b)的值？

根据(4.5.13)式，如果f(ω)在ω0的小邻域内取值，当aω0不在（ωmin，ω

max）内时，那么

Wf (a，b)必为零。所以影响f(x)的小波变换Wf (a，b)的是函数

????的一条水平带形，如图4.5.3所示。 f(x)的Fourier系数f0

图4.5.3

（2）对于空间—尺度平面上一给定点(b0，a0)处的小波变换值Wf (a，b)将

????的影响？ 受到哪些频段范围内的f 289

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????的自变量ω应满足不等式 根据(4.5.13)式，f?mina????maxa (4.5.15)

从(4.5.12)式和(4.5.15)式可知小波变换同时可以作空间域—频率域的局部特性的分析，而且函数f(x)的高频部分（对应于(4.5.15)式知a>0应取较小值）在空间域（或时间域）的分辨率高（根据(4.5.12)式a越小空间分辨率越高），这是小波变换比窗口Fourier变换的重要优点之一。

但是，从(4.5.12)和(4.5.15)两式可以看出，小波变换在空间域（或时间域）与频率域的分辨率是相互制约的，即提高空间域（或时间域）的分辨率是以降低频率域的分辨率为代价的，反之亦然。这方面已由Heisenberg测不准原理所描述（李世雄，1993）。

定理4.5.1：（Heisenberg测不准原理）设窗口函数g?x??L2?R?，

?????L2?R?，?g?????L2?R?，则 g?g?g??1 (4.5.16) 2当且仅当g?x??cei?x积。

1其中?g?g?g??1?g12??e??x?b?24?时等号才成立。?g?g?称为g(x)窗口的面

??????x?x?g?x?*2g*2?g2dx为g(x)的窗宽；

?12??2????????????g2????的窗宽； dx为g?12x?*g1g????xg?x?dx；

2*?g?1?g2????????dx。 ?g2*这里?为L2(R)的范数，x*g，?g称为窗口中心。不等式(4.5.16)说明了窗口

函数g(x)在空间域（或时间域）与频率域的分辨率是相互制约的。同时，Heisenberg测不准原理还告诉我们高斯分布类小波同时具有空间域（或时间域）与频率域最好的分辨率。这也就是在奇性检测中，选取高斯分布的一阶导数作为我们的小波函数的道理之一。

若小波母函数??x?，满足条件：?,x??L2?R?，则不难求得?a,b?x?的窗口中心：

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**x??ax??b (4.5.17) z.b**特别当 x??0时，x??b z.b窗口宽度 ??a,b?a?? (4.5.18) 可见连续小波?a,b的窗口中心随参数b的变化而平衡，其宽度随参数a的变化而伸缩。

??L2?R?，因 现设?,x??a,b???????a?? (4.5.19) ae?ib??所以

*x??z.b1*x?? (4.5.20) a??a,b???a,b?a???1????????? (4.5.21) a所以连续小波的窗口面积不随参数a，b而变，即小波变换在空间域和频率的分辨率是相互制约的。 4.5.3 多分辨分析与正交小波基 1.离散小波变换

连续小波变换与Fourier变换相类似，这种连续依赖于参数的变换主要用于理论分析与论证。在实际问题及数值计算中重要的是其离散形式，也就是取定a0>1与b0>0，定义：

?m2?m?mn?x??a0??a0x?nb0?,m,n?Z (4.5.22)

对于f?L2?R?，相应的离散小波变换为：

Wf?m,n???f?x??mn?x?dx,m,n?Z (4.5.23)

???f(x)。对于离散小波变换，由?Wf?m,n??,m,n?Z能否唯一确定函数f(x)是一个需b0=1，且??mn?x??m,n?Z构成空间L2(R)的一组标准正交基，亦即：

我们知道对连续小波变换，由Wf?a,b?,a,b?R,a?0可唯一确定函数

要进一步研究的问题。在本节中，我们要讨论一种重要的特殊情况，取a0=2，

m?m???1,??n?n? (4.5.24) 0,?其它情况??????mn?x??m?,n??x?dx??mm?,nn?且对?f?L2?R?有展开式

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f?x??m,n?z?W?m,n???x? (4.5.25)

fm,n这种由一个函数的平移和伸缩所构成的正交基和展开式，当然是非常有用的。问题是这样的母函数?是否存在？如何具体构作？S. Mallat多分辨分析理论解决了这一问题。 2.多分辨（多尺度）分析

多分辨分析方法(Multi-Resolution Analysis，简称MRA方法)是S. Mallat在1988年提出的，它实际上是构作Shannon小波基方法的抽象与推广。

定义4.5.1：我们称满足下列条件的L2(R)中的一列子空间?Vm?m?Z及一个函数??x?为一正交MRA（正交多尺度分析）：

(i) Vm?1?Vm,?m?Z； (ii) (iii) (iv) (v)

m?Z?Vm??0?；

m?Z?Vm?L2?R?；

??x??V0，且???x?n??n?Z是V0的标准正交基；

f?x??Vm?f?2x??Vm?0

m????m?m2由性质(iv)，(v)可见f?x??V0?f2x?Vm，且函数系?2?2x?n???n?Z????构成空间Vm的一组标准正交基。因?Vm?m?Z不是L2(R)的正交分解，所以不能期

??m??m22?2x?n望函数系?构成空间L2(R)的标准正交基。现在来考虑Vm+1???m,n?Z??在Vm中的正交补空间Wm+1，且Wm?1?Vm?1，且Vm?Vm?1?Wm?1。显然，对任意m，m??Z，子空间Wm与Wm?是互相正交的。且f?x??W0?f2?mx?Wm。

因

??VN?VN?1?WN?1?VN?2?WN?2?WN?1???VS?WS?WS?WS?1???WN?1

由于性质(i)，(ii)，(iii)，令N??,S??,，即得

L?R???Wm (4.5.26)

2m????且上式右方是正交分解。因此，问题归结为利用??x?构造一个函数??x?，使它的整数平移???x?n??n?Z构成空间W0的标准正交基，S. Mallat给出了以下

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定理。

定理4.5.2 设?Vm?m?Z是L2(R)的一个多分辨逼近，则存在唯一函数

??m?组成Vm的规范正交基。 ??x??L?R?，叫做尺度函数，使得?22?2?mx?n???m,n?Z2??定理4.5.2表明，Vm的规范正交基可以由??x?构成；以系数2m伸缩，平移网点间隔正比于2m。

根据实际计算的需要，一般地，我们需要光滑的尺度函数。图4.5.4给出了

????具有低通的形一个连续可微且呈指数衰减的尺度函数。它的Fourier变换?状。其中

???????12??41?8??? (4.5.27)

这里?8????k???????2k??14,k?Z

类似于定理4.5.2，Mallat证明了下述定理(Mallat，1989)。

图4.5.4 一个尺度函数的例子

(a) 尺度函数空间特征；(b)尺度函数频谱特征

定理4.5.3 设?Vm?m?Z是一个多分辨逼近，??x?为尺度函数，H为相应的共轭滤波器，即H????其Fourier变换满足

?x??in???，而hne??hn????,??x?n?，令??x?为一函数，??2?k??????????????G???? (4.5.28) ?????2??2?式中G????e?i?H?????

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