电磁测深教程 第四章 静态效应
并令?mn?x??2?2?mx?n，则??mn?x??n?Z为Wm的规范正交基，而且
?m2????mn?x??n,m?Z组成L2(R)的规范正交基，且这样的小波??x?为正交小波。
图4.5.5给出了图4.5.4中所确定的尺度函数??x?相对应的小波函数??x?的空间域和频率域中的特征。
从图4.5.4和图4.5.5可见，尺度函数对应于低通滤波器，而小波函数对应于带通滤波器。
图4.5.5 与图5.3.1中尺度函数对应的小波函数 (a)小波函数空间特征；(b)小波函数频谱特征
3.双尺度差分方程
设?由于??x??V0?V?1，而Vm?m?Z及??x?是一个正交MRA，是V-1的标准正交基，因此根据Hilbert正交投影定理，可得：
?2??2x?n??n?Z??x???h?n???2x?n? (4.5.29)
n?Z(4.5.29)称为双尺度差分方程。根据??x?的构造，可写出??x?满足的方程为：
??x?????1?h?1?n???2x?n? （4.5.30）
n?Zn利用方程(4.5.29)和(4.5.30)和MRA分析，便可构造正交小波基。 4.信号多尺度分解的快速算法
地球物理勘探中，特别是频率域电磁测深和重磁法中，地表的采样是对地下地质体特征在地表所提供的信息在一定分辨率意义下的逼近。对于详查，采样密度应适当地加细以能够获得足够的信息，在这个意义上说，较密的采样对应着较高的分辨率。对于以探测有一定深度大结构为目标的勘探，采样密度可适当地放宽，但要在能够识别勘探目标所规定的分辨率范围内。这个时候由于采样变稀，相当于较粗的分辨率逼近。
不管如何采样，对于一事实上的采样值?fn?n?Z，Z为整数集，在?fn?既包含有浅部的地质信息，又包含有深部的结构信息，如何从采样集?fn?n?Z中将它们分
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别提取出来，分别加以利用以达到识别大小，埋深不同的地质体？Mallat的信号的多分辨逼近的理论为我们提供了崭新的理论和算法。 设原始信号为f(x)，将f(x)分为如下两部
f?x??P1f?x??Q1f?x? (4.5.31)
其中P1f?x?为对信号f(x)的粗分辨率逼近，Q1f?x?为其相应的细节部分。 从滤波的角度来看相当于
?带能滤波G?Q1f?x?输入f?x???
?1f?x??低能滤波H?P再将P1f?x?分为两部分
P1f?x??P2?x??Q2f?x?
其中P2(x)为对P1f?x?的粗分辨率逼近，Q2f?x?为其相应的细节部分。 若将上述过程继续下去，就得到如下的子带编码式滤波器所作的分解。见图4.5.6。
?G?Q1f?x???G?Q2f?x???f?x????G?Q3f?x??H?P1f?x????H?P2f?x????????H?P3f?x???图4.5.6 多分辨分解示意
这就在不同分辨率意义下完成了对原始信号的分解。
J即 f?x??PJ?x???Qjf?x? (4.5.32)
j?1设???x?分别为定理4.5.2和定理4.5.3??x?、Vm?m?Z是L2(R)的一个多分辨逼近，所确定的尺度函数和小波函数
根据对信号f(x)的采样值，构造f(x)在分辨率20之下的逼近：
P0f?x???con?0n?x???con??x?n? (4.5.33)
n?Zn?Z其中??0n?x??为L2(R)的逼近空间V0的规范正交基。
显然，P0f?x?在V0中，?c0n?为采样值。另外，由于
V0?V1?W1 (4.5.34)
即，又可将
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P0f?x?根据(4.5.34)分为正交的两部分
P0f?x??P1f?x??Q1f?x? (4.5.35)
其中，PQ1f?x??W1。 1f?x??V1,由于??1n?x??及??1n?x??分别是V1和W1的正交基，所以
n?ZP1f?x???c1n?1n?x? (4.5.36)
n?ZQ1f?x???d1n?1n?x? (4.5.37)
这里用c1??c1n?n?Z代表f(x)的采样值c0??c0n?n?Z的粗分辨逼近，而
d1??d1n?n?Z则代表c0与c1之差信息，即c0细节部分。 (4.5.36)与(4.5.37)中的c1k和d1k分别由
c1k??h?n?2k?c0n (4.5.38)
n?Zn?Zd1k??g?n?2k?c0n (4.5.39)
所确定，其中
??1?h?n??2?12???x???x?n?dx (4.5.40)
???2?g?n??2?12??????x???x?n?dx (4.5.41)
?1??2?根据(4.5.38)~(4.5.41)，可以引进记号
c1?Hc0 (4.5.42)
d1?Gc0 (4.5.43)
这说明，由高一组分辨率逼近可以计算低一级分辨率逼近。
一般地，由于Vj?1?Vj?Wj，所以上述的过程可一直进行下去，即有
cj?Hcj?1 (4.5.44) dj?Gcj?1 (4.5.45)
其中cj?cjk??k?Z,dj??djk?k?Z,，而djk，djk由下述的递推公式算出：
n?Zcjk??h?n?2k?cj?1n (4.5.46)
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djk??g?n?2k?cj?1n (4.5.47)
n?Z根据(4.5.38)~(4.5.47)就可以逐次求出对采样值c0??c0n?n?Z的各种不同的分辨率意义下的逼近及其相应的细节信号。
同时，由Vj?1?Vj?Wj，所以，从低一级的粗分辨率逼近和相应的细节信号，可反求出高一级分辨率逼近，即有如下的重构公式
cj?1n??cjkh?n?2k???djkg?n?2k? (4.5.48)
k?Zk?Z
4.6 高维地质体的特征刻画与静态效应的识别
在第4节，我们研究了校正静态效应的波数域和空间域滤波方法。从理论上，这两类方法都可以取得令人满意的结果。然而，在实际资料处理时，滤波参数(截止频率或窗宽)的选择是十分关键的。虽然给出了一些选择原则，但人为因素仍很大，做静态效应校正时，处理结果因人而异。下面以广泛应用的EMAP方法作进一步说明。
在静态效应的汉宁窗空间域滤波方法中(Bostick，1986，Torres-Verdin等，1992)，其关键一步是根据穿透深度来确定滤波窗口的宽度。在汉宁窗
?1?2?x?W1?cos,x????W?W?2?h?x??? ?0,x?W??2中，窗宽形W?CZB?x,??，其中ZB?x,??为由频率?所确定的Bostick穿透深度，C为实常数，称为滤波系数。对MT法，F．x．Bostick等进行大量数值试验得
出1≤C≤4为一个合适的范围，因为C过小起不到压制静态效应的目的，过大将太多地损失阻抗函数的横向细节。
显然，尽管1≤C≤4，但对实际情况究竟如何确定C，人为因素很大。可以看到当ZB?x,??确定时，C取1或4，其窗宽相差很大，做静态效应校正时，处理结果将有很大差别。对于理论模型，由于事先已知地下地质体的分布，可以通过多次试算从1≤C≤4中确定C，使得静态校正效果最佳。然而，对实际数据，地下的情况预先不知道，如何确定C，这是Bostick空间域滤波方法本身不能解决的。另外，当穿透深度一定时，汉宁窗宽是确定的，
以此作滤波时，一定损失横向细节，能否找到既能消除静态效应又能保持某些地段所需的细节的随水平位置变化的静态效应校正方法，这也是空间域滤波方
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法难以做到的。
波数域和空间域滤波方法产生不足的根本原因在于其所使用的信号处理工
??x?提供的是f?x?在具是Fourier分析。由于一个函数f?x?的Fourier变换, f??x?分析f?x?在某处的局部特征是困难的，而静全空间的频谱特征，因此，由f态效应恰恰是近地表局部电性不均匀产生的局部特征，因而，用Fourier分析研究静态效应必然带来相应的缺陷。同时，由于窗口Fourier变换中?h?x???e?i?t?不论如何离散化都不能构成L2?R?空间中的正交基，这对于静态效应的分离从理论上和实际计算均是不利的。
小波理论的出现为这一问题的解决带来了可能，它能对信号按空间～频率进行局部分析，并且小波函数通过适当伸缩和平移可组成L2?R?空间的正交基，这便为静态效应的识别和最佳压制提供了理论依据。
现约定称Lipschitz指数?为“奇性指标”。下面从电场的积分表达式入手，具体讨论用奇性指标识别静态效应的方法。
设均匀大地内有三维地质体V0，围岩和三维体的电导率分别为?0和?，准静态极限下，在源区以外频率域中刻画电磁场的Maxwell方程为：
??E?i??H （4.6.1）
??H??0E （4.6.2）
若设Ep、Hp分别为一次电场与磁场，Es、Hs分别为二次电场与磁场，则
E?Ep?Es, H?Hp?Hs （4.6.3）
并设
???0??? （4.6.4）
这里??表示三维体V0的电导率与围岩电导率的差异。
从(4.6.3)-(4.6.4)式可得
?2Es?k2Es??i????E （4.6.5）
其中k2?i???0
从非奇次Helmhotz方程(4.6.5)式得到下面积分表达式
Es?r???G?r,r0???E?r0?d?0 （4.6.6）
V0其中，r??x,y,z?是观察点；r0??x0,y0,z0??V0；d?0?dx0dy0dz0；函数G?r,r0?是并矢格林函数，它满足
?2G?r,r0??k2G?r,r0??i????r?r0?? （4.6.7）
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