FLAC动力分析(4)

条件选择可以参考以下标准：

1. 刚性地基

如果模型底部为岩石等模量较大的材料，可以在底部直接施加加速度或速度荷载，并采用自由场边界条件，模型底部无需施加静态边界条件。

2. 柔性地基

如果模型底部的单元为土体，尤其是软土，则不能直接施加加速度和速度，而需要将加速度、速度转换成应力时程，再施加到模型底部。模型周围采用自由场边界条件，模型底部可采用静态边界条件（nquiet，dquiet，squiet）。

11.5 力学阻尼

阻尼的产生主要来源于材料的内部摩擦以及可能存在的接触表面的滑动。FLAC3D采用求解动力方程的方法解决两类力学问题：准静力问题和动力问题。在这两类问题中都要使用阻尼，但准静力问题需要更多的阻尼使得动力方程能够更快的收敛平衡。对于动力问题中的阻尼，需要在数值模拟中重现自然系统在动荷载作用下的阻尼大小。目前，FLAC3D动力计算提供了三种阻尼形式供用户选择，分别是瑞利阻尼、局部阻尼和滞后阻尼。

11.5.1 瑞利阻尼（Rayleigh damping）

瑞利阻尼最初应用于结构和弹性体的动力计算中，以减弱系统的自然振动模式的振幅。在计算时，假设动力方程中的阻尼矩阵C与刚度矩阵K和质量矩阵M有关：

C??M??K （11-9）

其中，?为与质量成比例的阻尼常数，?为与刚度成比例的阻尼常数。

瑞利阻尼中的质量分量相当于连接每个节点和地面的阻尼器，而刚度分量则相当于连接单元之间的阻尼器。虽然两个阻尼器本身是与频率有关的，但是通过选取合适的系数，可以在有限的频率范围内近似获得频率无关的响应。图11-10为归一化的临界阻尼比与角频率之间的关系曲线，其中包含了仅设置刚度分量、仅设置质量分量以及二者叠加的三种结果。可以看出，采用叠加的方法得到的阻尼比在较大的频率范围内保持定值，因此瑞利阻尼可以近似地反映岩土体具有的频率无关性。

叠加

仅有刚度分量

?=0

仅有质量分量

?=0

图11-10 归一化的临界阻尼比与角频率之间的关系

1. 瑞利阻尼的两个参数 设置瑞利阻尼的命令为：

SET dyn damp rayleigh 参数1 参数2

根据图11-10叠加结果的阻尼比曲线最小值可以确定瑞利阻尼的两个参数，分别是最小临界阻尼比?min（参数1）和最小中心频率?min（参数2），可以按照式（11-10）进行计算：

?min?(???)1/2?min?(?/?)1/2 （11-10）

注意：参数2中的单位是Hz，而不是角频率的单位。 2. 瑞利阻尼参数选择的原则

很多读者最十分关心瑞利阻尼参数的选择。对于岩土材料而言，临界阻尼比的范围一般是2～5%，而结构系统的临界阻尼比为2～10%。在使用弹塑性模型进行动力计算时，相当多的能量消散于材料发生的塑性流动阶段，因此在进行大应变的动力分析时，只需要设置一个很小的阻尼比（比如0.5%）就能满足要求，而且达到塑形以后，随着应力-应变滞回圈的扩大，能量的消散也逐渐明显。

（1）中心频率的确定

瑞利阻尼是与频率相关的，但是在一定的频率范围内，瑞利阻尼基本与频率无关。这个频率范围的最大频率常是最小频率的3倍。对于任何动力问题，可以对速度时程进行谱分析得到速度谱与频率之间的关系，见图11-11所示。可以逐渐调整fmin，使得频率范围在fmin～3×fmin之间包含了动力能量的主要部分，这时的fmin就是瑞利阻尼的中心频率。在实际分析中，比如多种材料的土石坝动力分析，需要首先将分析模型假设为弹性材料进行动力计算，得到各种材料关键位置的功率谱，根据功率谱的分布来确定该区域的瑞利阻尼中心频率的大小。通过这种方法确定的中心频率fmin，既不是输入频率，也不是系统的自振频率，而是二者的叠加。

主频区域

速度谱

?min

3×?min

频率

图11-11 速度谱与频率之间的关系

对于简单的模型，也可以采用自振频率作为瑞利阻尼的中心频率，这需要对模型进行无阻尼的自振计算，下面给出一个实例。

自振频率的计算要求设置正确的边界条件，不设置阻尼，在重力作用下求解一定的步数，使模型产生振荡，分析模型中关键节点的响应（包括速度、位移随动力时间的变化曲线）。具体的求解步数可以根据输出结果，至少完成一个或几个周期的振荡，从而确定自振频率的大小。

例11.4：自振频率的计算

conf dy

gen zone brick size 3,3,3 model elas

prop bulk 1e8 shear 0.3e8 ini dens 1000 fix z range z -.1,.1

set dyn=on, grav 0 0 -10, hist_rep=12 hist gp zdisp 3.0,1.5,3.0 hist dytime plot create hh plot add his 1 vs 2

save 11-4_1.sav ;保存文件，在后续计算中需调用该文件 cyc 150

例11.4中记录了模型边界上一个节点的位移振荡曲线，见图11-12所示。可以发现完成一个振荡周期需要的时间约为0.0438s，据此可以计算出系统的自振频率为22.8Hz。读者在确定振荡周期时，可以

变量hist_rep的作用是将设置历史记录的间隔，默认为10，即每10步记录一次数据。由于本例中计算时间步较少，为了得到更平滑的记录曲线，将hist_rep取为1。

2

将计算结果输出到文本文件，再通过Excel操作得到更精确的周期值。

FLAC3D 3.00Step 15011:05:17 Fri Apr 04 2008Job Title: vertical displacement versus time (undamped)x10^-3History 1 Z-Displacement Gp 56 Linestyle -1.091e-003 <-> -3.527e-006-0.1-0.2 Vs. 2 Dynamic Time 5.939e-004 <-> 8.909e-002-0.3-0.4-0.5-0.6-0.7-0.8-0.9-1.0Itasca Consulting Group, Inc.Minneapolis, MN USA 2.0 4.0x10^-2 6.0 8.0 图11-12 自振频率计算得到的位移时程曲线

（2）阻尼比的确定

经验方法是，直接选取岩土体的阻尼比参数，比如0.5%。

另外一种，通过弹性阶段的动力计算，了解各关键位置的动应变幅值，并根据实验室得到的阻尼比-应变幅值曲线来选择阻尼比的大小。

3. 瑞利阻尼的实例

以例11.4中保存的11-4_1.sav文件为基础，采用如下3种参数形式的瑞利阻尼进行动力计算： ? 质量分量和刚度分量共同作用； ? 仅有质量分量； ? 仅有刚度分量。

为了更好地进行比较，上述三种参数均调试为临界阻尼状态，即模型刚好不做周期振动而回到平衡位置。达到临界阻尼状态必须将临界阻尼比设为1，使用自振频率作为瑞利阻尼的中心频率，而且同时使用质量分量和刚度分量，即例11.5的第（1）种情况。

如果仅采用质量阻尼或刚度阻尼，则需要将阻尼比设置为共同作用下的2倍，具体命令文件如下。

例11.5：瑞利阻尼的例子

;（1）质量分量和刚度分量共同作用 rest 11-4_1.sav

set dyn damp rayleigh 1 22.8 solve age=0.2 title

vertical displacement versus time (mass & stiffness damping) plot show pause3

;（2）只有质量分量

命令pause的作用是在命令文件执行中设置暂停，以便于用户观察暂停状态下的计算结果，在命令行中输入continue可以继续执行，若输入命令中存在错误，就停止执行。pause后面可以跟keyword关键词，表示暂停状态下按任意键即可继续。

3

rest 11-4_1.sav

set dyn damp rayleigh 2 22.8 mass solve age=0.08 title

vertical displacement versus time (mass damping only) plot show pause

;（3）只有刚度分量 rest 11-4_1.sav

set dyn damp rayleigh 2 22.8 stiffness solve age=0.08 title

vertical displacement versus time (stiffness damping only) plot show

三种计算结果得到的竖向位移时程曲线均如图11-13所示，表明三种情况都达到了临界阻尼状态。但是三种计算工况下的时间步存在较大差别，具体见表11-1所示。可以看出，瑞利阻尼中刚度分量的设置大大降低了FLAC3D中的动力时间步。

表11-1 瑞利阻尼三种参数格式下的计算时间步比较

计算工况 （1）质量分量和刚度分量共同作用 7.8E-5 （2）只有质量分量 （3）只有刚度分量 时间步 5.9E-4 3.9E-5 FLAC3D 3.00Step 202515:29:37 Fri Apr 04 2008Job Title: vertical displacement versus time (stiffness damping only)x10^-4History 1 Z-Displacement Gp 56 Linestyle -5.371e-004 <-> -1.561e-008-0.5-1.0 Vs. 2 Dynamic Time 3.951e-005 <-> 8.001e-002-1.5-2.0-2.5-3.0-3.5-4.0-4.5-5.0Itasca Consulting Group, Inc.Minneapolis, MN USA 1.0 2.0 3.0 4.0x10^-2 5.0 6.0 7.0 8.0 图11-13 竖向位移时程曲线的临界阻尼状态

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