电动力学的第一章总结(3)

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-11

证明：

??S????????B?dS????BdV?0，因为V任意，所以??B?0，它

V??可以从毕萨定律直接证明。说明： 1) 静磁场为无源场（指通量而言），磁力线闭合； 2) 它不仅适用于静磁场，它也适用于变化磁场。

五．静磁场的基本方程

??????微分形式：??B??0J，??B?0

积分形式：

??L????B?dL??0I,

??S????B?dS?0

反映静磁场为无源有旋场，磁力线总是闭合的。它的激发源是流动的电荷（电流）。

注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体存在可无宏观静电场）。例1．见教材p18例题 例2．习题5

???????dp????证明：由p?t????x,txdV?,得??Jx?,tdV?

VVdt???????????x,t????dpd????'?'????x,txdV??xdV??????Jx?,tx?dV'由

VVdtdtV?t???????????????????J??0， 且??fg???fg?f??g ?t?????????????t??x??J,????,????? xt?x????J,xxt则有 ???J?x??????????????????得????J?x?,t??x?????J?x?,t?x??J?x?,t????x? ????????dp????????J?x?,t?xdV???J?x?,t????x?dV?VVdt????????????? ???dS?Jx,tx?Jx,t????S?V??ldV?

??????????? ???dS?Jx,tx?Jx????S?V?,t?dV???? ??J?x?,t?dV??????????????????????????V???其中利用了J?x?,t?＝0, 此题也可用分量方法证明。

§3. 麦克斯韦方程组

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杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-12

麦氏方程在电动力学中的地位就像牛顿定律在经典力学中的地位一样。麦氏方程建立的实验基础是电磁感应定律，理论基础是静电场、磁场的场方程。

一、电磁感应定律

1． 电磁感应现象

1831年法拉第发现：当一个导体回路中电流变化时，在附近的另一个回路中将出现感应电流。由此他总结了这一现象服从的规律：

????d?B， （?B??B?dS） ?i??Sdt??其中S是闭合电路L所围的任一曲面，dS与L满足右手关系。

实验发现：?B变化率大于零，?i与L反向；?B变化率小于零，?i与L同向。因此公式中加一个负号。 2． 磁通变化有三种公式：

a) 回路相对磁场做机械运动（B与t无关，但?B??B?t?），

??????b) 回路静止不动，但磁场B?B?t?，感生电动势，

c) 两种情况同时存在。 3． 物理机制 有电流，说明电荷受到了电的作用，动生可以认为是电荷受到磁场的洛伦兹力，感生情况回路不动，应该是受到电场力的作用（无外电动势，由

??于它不是由静止电荷产生的场，故称为感生电场Ei（对电荷有作用力是电

场的本质，因此它与静电场在这一点上无本质差别）。

????电磁感应现象的实质：变化磁场激发电场Ei?Ei?t?

二、总电场的旋度和散度方程 ??1．Ei和?i的关系

一般情况： ?i????L???F外?dl?Q?????E?dl?外

L??其中E外为单位电荷受到的非电场力。

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杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-13

?2．Ei的旋度方程

????d 电磁感应定律形式可以写为 ?E?dl??B?dS ?Li?Sdt 这是L可认为是电磁场中的 任一闭合回路。感生电动势是由于变化磁场

产生了电场而出现的与导体是否存在无关。（与静电场由Q激发，与场中是否存在无关的道理类似）

???????d?B?由斯托克斯定理 ??LEi?dl??S??Ei?dS 且 dt?SB?dS??S?t?dS得

??????????B??B??E?dS???dS??E?? ?ii??S?S??t?t????（1）它反映感生电场为有旋场（Ei又称漩涡场）,与静电场ES本质不同。

??（2）它反映变化磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 3．感生电场的散度方程

????由于Ei不是由电荷直接激发，可以认为??Ei?dS?0，即??Ei?0

S?从这里可认为Ei为无源有旋场。

4．总电场的旋度与散度方程

? 假定电荷分布??t?激发的场为ES?t?，它包括静电场，称为库仑场（指

???????t???ES?0，??ES?）总电场为E?ES?Ei

?0?????t??B,??E? ??E?? ?t?0因此空间中的电场是有源有旋场，他们与试验结果一致。

三、位移电流假设

1． 变化电场激发磁场假设：

与变化磁场产生感生电场类比，人们提出变化电场同样可激发磁场。因此，总磁场一般为传导电流产生的磁场与变化电场产生的磁场之和。 2． 位移电流假设

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杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-14

? 对于静磁场：，它与??J?0相一致，

??∵ ????B??0??J?0

???????对于一般情况??B??0J不适用，因为??J???0?t???J?J(t)

?在变化情况下电流一般不再闭合（交流电路，电容器被充、放电，但两极中间无电荷通过） 要导出一个旋度方程并与电荷守恒定律不矛盾。麦氏假

?????定电路中存在位移电流JD，J?JD构成闭合电流，即??J?JD?0 ，

?????这样可有??B??0J?JD。若要与电荷守恒不矛盾：

??????t????E???????0??E?????0 又由??E?? ?0?t?t??t????????， 设??JD? ??J???JD???t?t????????E??E??J?????? 即 ??JD?????0 ?D0?t?t?????E 麦克斯韦取 JD??0，及变化电场产生位移电流。

?t?? JD并不表示电荷移动，它仅在产生磁场的作用上与J相同。

四、 总磁场的旋度和散度方程

?????E引入JD后 ??B??0J??0?0

?t（1） （2）

?B?t?为总磁场感应强度。 ??若J?t??0，B?t?仍为有旋场。

（3） 可认为磁场的一部分直接由变化电场激发。

（4） 关于B的散度：稳恒时??B＝0，同样，变化电场产生的磁场也应

?? 14

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-15

该是无源场。所以可认为??B＝0

????B实际上它可由??E??导出：

?t?????B??????E?0 即?????B?0???B?f?x?与t无关。

?t?t???? 当t?0时，x处无磁场或仅有静磁场则f?x??0那么以后f?x??0。

???t?0?，

?五、真空中的电磁场基本方程——麦克斯韦方程

????B??E????t??????E???B??0J??0?0微分形式 ??t

????E????0?????B?0?????d???LE?dl??dt?SB?dS???????B?dl??I???dE?dS000????LSdt积分形式 ?

?1?E?dS??dV??S??V?0?????SB?dS?0?说明：

（1）真空中电磁场的基本方程

揭示了电磁场内部的矛盾和运动，电荷激发电场，时变电磁场相互激发。微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。

??（2）线性偏微分方程，E,B满足叠加原理

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