概率论与数理统计浙大第四版习题答案全(7)

y?12y?12?当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =?????12?ex2?2??dx? ???1 =e2π(y?1)y?14

（3）求Y=| X |的概率密度。

∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0

当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=∴ Y的概率密度为：

当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

?y?y?1e2πx22dx

?y2x2?y1???2当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =?e2dx??e2

??y2π?π??33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。

?∵ 又 且

Y=g (X )= X 3 是X单调增函数， X=h (Y ) =Y，反函数存在，

α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞

13 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为：

1321? ψ( y)= f [h ( h )]2| h' ( y)| = f(y)?y3,???y???,但y?0

3?(0)?0

（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。

?e?x法一：∵ X的分布密度为：f(x)???0 Y=x2是非单调函数

当 x<0时 y=x? 反函数是x??y 当 x<0时 y=x2 ? x?2

x?0 x?0y=x2 y y

O ∴ Y～ fY (y) = f(?y)(?y)??f(y)(y)? －y y x

?0?1e?? =?2y??0y?12ye?y,y?0y?0

法二：Y~FY(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y)

?y?xedx?0?1?e?? ?0??0?y,,y?0y?0

?1e??∴ Y～ fY (y) =?2y??0y,,y?0.y?0.

34.[三十一] 设X的概率密度为

?2x0?x?π? f(x)??π2?x为其他?0求Y=sin X的概率密度。

∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0

当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π) =当1

arcsiny?02xdx?π2?2xdx

π?arcsinyπ2π?0

?arcsiny02xdx?2π

??2x?dx?

π?arcsinyπ2?π2π1?y21≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1)? = 0

36.[三十三] 某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃)

的概率密度。[已知θ?5(T?32)] 9法一：∵ T的概率密度为f(t)?12?2e?(t?98.6)22?2,???t???

又 θ?g(T)? T?h(θ)?5(T?32) 是单调增函数。 99θ?32 反函数存在。 5 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞

∴ θ的概率密度ψ(θ)为

9(θ?32?98.6)2?54eψ(θ)?f[h(θ)]?|h'(θ)|?12π2?9 5 ?9e10π?81(θ?37)2100,???θ???

法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 ) 由于T～N（98.6, 2）

2?5??333?5?2?5160160?5?故 θ?T?~N??98.6?,???2??N?,???2?

999?9??????9??9?9??故θ的概率密度为：

?333?????9???22?(?)?

1e52?29?5?2????2?9??910?e?81(??37)2100,???????

第三章 多维随机变量及其分布

1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

,??0,若第一次取出的是正品X??

??1,若第一次取出的是次品?,??0,若第二次取出的是正品Y??

??1,若第二次取出的是次品?试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况

由于每次取物是独立的。由独立性定义知。

P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=

或写成

X Y 0 1 （2）不放回抽样的情况

P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }=

或写成

X Y 0 1 0 1 101025 ??1212361025 ??1212362105 ??121236221 ??12123625 365 365 361 3610945 ??12116610210 ??12116621010 ??121166211 ??121166

0 1 45 6610 6610 661 663.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。

X Y 0 1 2 3 0 0 0 3235 35 1 0 612235 35 35 2 16335 35 35 0 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3，为

P {C22X=0, Y=2 }=

2C2C4?1735 P {C1C12X=1, Y=1 }=

32C2C4?6735 P {X=1, Y=2 }=C1213C2C26C4?735 P {X=2, Y=0 }=C223C2C4?3735 P {X=2, Y=C2C111 }=

32C2C4?12735 P {X=2, Y=2 }=C223C2C4?3735 P {X=3, Y=0 }=C313C2C4?2735 j=0，12，i + j≥2，联合分布律

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