概率论与数理统计浙大第四版习题答案全(4)

P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14 又因：

A=H1A+H2A+H3A

三种情况互斥

故由全概率公式，有

P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458

36.[三十三]设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）

∵ B表取得三件好物品。

B=A1B+A2B+A3B 三种情况互斥

由全概率公式，有 ∴

P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)

=0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.8624

P(A1B)P(A1)P(B|A1)0.8?(0.98)3P(A1|B)????0.8731P(B)P(B)0.8624

P(A2B)P(A2)P(B|A2)0.15?(0.9)3P(A2|B)????0.1268

P(B)P(B)0.8624P(A3B)P(A3)P(B|A3)0.05?(0.1)3P(A3|B)????0.0001P(B)P(B)0.862437.[三十四] 将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。）

解：设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。

再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有 P (A收| A发)= P (B收| B发)= P (C收| C发)=α，

P (A收| B发)= P (A收| C发)= P (B收| A发)= P (B收| C发)= P (C收| A发)= P (C收| B发)=

1?α 2又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A发) P (B收| A发) P (C收| A发) P (A收| A发) =α2(1?α2)， 21?α3) 2同样可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =α?(于是由全概率公式，得

P(D)??P(B)P(D|B)iii?13

?p1a2(1?α21?α3)?(P2?P3)α()22由Bayes公式，得 P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = =

P(B1)P(D|B1)

P(D)2αP1

2αP1?(1?α)(P2?P3)[二十九] 设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率，（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。

解：记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。

（1）记C={至少有一只蓝球}

C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5种情况互斥 由概率有限可加性，得

P(C)?P(A1B1)?P(A1B2)?P(A1B3)?P(A2B1)?P(A3B1)独立性P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)

1112132131?32333422225??????????79797979799（2）记D={有一只蓝球，一只白球}，而且知D= A1B3+A3B1两种情况互斥

P(D)?P(A1B3?P(A3B1)?P(A1)P(B3)?P(A3)P(B1)?342216????797963P(CD)P(D)16??P(C)P(C)35

（3）P(D|C)?(注意到CD?D)

[三十] A，B，C三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，打给A，B，221C的电话的概率分别为,。他们三人常因工作外出，A，B，C三人外出的概,555111率分别为,，设三人的行动相互独立，求

244（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了3个电话，求（3）这3个电话打给同一人的概率；（4）这3个电话打给不同人的概率；（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。

解：记C1、C2、C3分别表示打给A，B，C的电话 D1、D2、D3分别表示A，B，C外出 注意到C1、C2、C3独立，且P(C1)?P(C2)? P(D1)?21,P(C3)? 5511,P(D2)?P(D3)? 24（1）P（无人接电话）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) =

1111 ???24432（2）记G=“被呼叫人在办公室”，G?C1D1?C2D2?C3D3三种情况互斥，由有限可加性与乘法公式

P(G)?P(C1D1)?P(C2D2)?P(C3D3)?由于某人外出与???? ?P(C1)P(D1|C1)?P(C2)P(D2|C2)?P(C3)P(D3|C3)?否和来电话无关??故P(D|C)?P(D)??21231313kkk?????????52545420（3）H为“这3个电话打给同一个人”

P(H)?22222211117 ?????????555555555125（4）R为“这3个电话打给不同的人”

R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A，B，C的三个电话，每种情况的概率为

2214 ???555125于是P(R)?6?424 ?125125（5）由于是知道每次打电话都给B，其概率是1，所以每一次打给B电话而B不在

1的概率为，且各次情况相互独立

411于是 P（3个电话都打给B，B都不在的概率）=()3?

464

第二章 随机变量及其分布

1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律

解：X可以取值3，4，5，分布律为

P(X?3)?P(一球为3号,两球为1,2号)?21?C23C5?11021?C33C5 P(X?4)?P(一球为4号,再在1,2,3中任取两球)??310?610

P(X?5)?P(一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)?也可列为下表 X： 3， 4，5 P：

21?C43C5136 ,,1010103.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出次品的只数，（1）求X的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X可能为0，1，2个。

P(X?0)?3C133C15?22 35P(X?1)?12C2?C133C1521C2?C133C1512 ?35?1 35P P(X?2)?再列为下表

O 1 2 x X： 0， 1， 2 P：

22121 ,,3535354.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p，失败的概率为q =1－p(0

（2）将实验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律。（此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布。）

（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。

解：（1）P (X=k)=qk1p

－k=1,2,??

（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n－1次有n次失败，且最后一次成功}

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