大学物理简明教程 习题解答(赵近芳)

大学物理简明教程习题解答

习题一

drdrdvdv1-1 ｜?r｜与?r有无不同?dt和dt有无不同? dt和dt有无不同?其不同在哪里?试

举例说明．

???r?r?r?r?r?r2?r1； 21，解：（1）是位移的模，?r是位矢的模的增量，即

drdrds?v?dt（2）dt是速度的模，即dt.

drdt只是速度在径向上的分量.

?drdrdr??r?rdt ?（式中r?叫做单位矢）∵有r?rr，则dtdtdr式中dt就是速度径向上的分量，

drdr与dtdt不同如题1-1图所示. ∴

题1-1图

?dv?dvdva?dt，dt是加速度a在切向上的分量. (3)dt表示加速度的模，即

??v?v?(?表轨道节线方向单位矢）∵有，所以

??dvdv?d????vdtdtdt

dv式中dt就是加速度的切向分量.

???d??dr?与dt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) (dt1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出

d2rdr222x?yr＝，然后根据v=dt，及a＝dt而求得结果；又有人先计算速度和加速度的

分量，再合成求得结果，即?

你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？

?d2x??d2y??dx??dy????????dt2?????dt2??dtdt???? ????=及a=

2222???解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r?xi?yj，

??drdx?dy??v??i?jdtdtdt??d2rd2x?d2y?a?2?2i?2jdtdtdt

故它们的模即为

?dx??dy?v?v?v???????dt??dt?2x2y222?d2x??d2y?22a?ax?ay???dt2?????dt2??????

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

2drv?dtd2ra?2dt

drd2rdr与2dt误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明dt不是速度的模，其二，可能是将dtd2r2而只是速度在径向上的分量，同样，dt也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中

2?d2r?d??????a径?2?r?dt?dt?????。的一部分?或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即

??量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。

1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为

式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．?

1x=3t+5, y=2t2+3t-4.

?12??r?(3t?5)i?(t?3t?4)j2m 解：（1）

(2)将t?1,t?2代入上式即有

???r1?8i?0.5j m

???r2?11j?4jm

??????r?r2?r1?3j?4.5jm

??????r?5j?4j,r?17i?16j 4(3)∵ 0?????????rr4?r012i?20jv????3i?5jm?s?1?t4?04∴

????drv??3i?(t?3)jm?s?1dt(4)

???v?3i?7j m?s?1 则 4??????(5)∵ v0?3i?3j,v4?3i?7j

??????vv4?v04a????1jm?s?2?t44 ???dva??1jm?s?2dt(6)

这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以v0(m·s)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

?1 图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成?角，由图可知

222 l?h?s 将上式对时间t求导，得

dlds?2sdt dt根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，

dldsv绳???v0,v船??dtdt ∴

vdsldllv船?????v0?0dtsdtscos? 即

lv0(h2?s2)1/2v0v船??ss或

v将船再对t求导，即得船的加速度

2l 题1-4图

dlds?ldv?v0s?lv船a?船?dt2dtv0?v02dtssl22(?s?)v02h2v0s??32ss

2?21-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为m?s，x的单位

s为 m. 质点在x＝0处，速度为10m?s,试求质点在任何坐标处的速度值．

?1dvdvdxdv??vdtdxdtdx 解： ∵

2?d??adx?(2?6x)dx 分离变量：

a?12v?2x?2x3?c两边积分得 2

v?10,∴c?50

由题知，x?0时，03?1∴ v?2x?x?25m?s

?21-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3tm?s，开始运动时，x＝5 m，?v=0，求该质点在t＝10s 时的速度和位置．

dv?4?3tdt 解：∵

分离变量，得 dv?(4?3t)dt

a?3v?4t?t2?c12积分，得

v?0,∴c1?0

由题知，t?0,03v?4t?t22 故

dx3v??4t?t2dt2 又因为

3dx?(4t?t2)dt2分离变量，

1x?2t2?t3?c22积分得

x?5,∴c2?5

由题知 t?0,01x?2t2?t3?52故

所以t?10s时

3?102?190m?s?121x10?2?102??103?5?705m2

31-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，?式中以弧度计，t以秒计，

v10?4?10?求：(1) t＝2 s?时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，

其角位移是多少?

d?d??9t2,???18tdtdt 解：

?2 (1)t?2s时， a??R??1?18?2?36m?s

??

an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2

(2)当加速度方向与半径成45角时，有

2R??R?即

οtan45??a??1an

22(9t)?18t 亦即

22??2?3t3?2?3??2.67rad99则解得 于是角位移为

1v0t?bt221-8 质点沿半径为R的圆周按s＝的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧

长,v0，b都是常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b．

t3?ds?v0?btdt解：（1） dva????bdtv2(v0?bt)2an??RR

(v0?bt)4222a?a??an?b?R2则

v?加速度与半径的夹角为

??arctan(2)由题意应有

a??Rb?an(v0?bt)2

2(v0?bt)4a?b?b?R2 4(v?bt)b2?b2?02,?(v0?bt)4?0R即

v0b时，a?b ∴当

?1v1-9 以初速度0＝20m?s抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角，

t?求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2．

(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．

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